模式识别：利用MATLAB生成模式类

近期開始了模式识别的学习，在此之前须要对模式和模式类的概念有一个了解，这里使用MATLAB实现一些模式类的生成。在此之前，引用百科上对于模式识别和模式类的定义。也算加深以下了解：

    模式识别(Pattern Recognition)：人类在日常生活的每一个环节，从事着模式识别的活动。

能够说每一个有正常思维的人，在他没有入睡时都在进行模式识别的活动。

坐公共汽车找汽车站，骑车判别可行进道路。对观察到的现象作出推断。对听到的声音作出反应，推断东西的好与坏以及水果的成熟与否等等都是人们推断是非，判别事物的过程。可是对模式识别这个词就显得陌生而难以理解了。

确切地说，模式识别在这里是针对让计算机来推断事物而提出的。如检測病理切片中是否有癌细胞，文字识别，话语识别，图像中物体识别等等。该学科研究的内容是使机器能做曾经仅仅能由人类才干做的事。具备人所具有的、对各种事物与现象进行分析、描写叙述与推断的部分能力。
    模式类与模式，或者模式与样本在集合论中是子集与元素之间的关系。

当用一定的度量来衡量两个样本，而找不出它们之间的区别时，它们在这样的度量条件下属于同一个等价类。这就是说它们属于同一子集，是一个模式，或一个模式类。

而不同的模式类之间应该是能够区分的，它们之间应有明白的界线。可是对实际样本来说，有时又往往不能对它们进行确切的划分，即在所使用的度量关系中。分属不同的类别的样本却表现出同样的属性。因而无法确凿无误地对它们进行区分。比如在癌症初期，癌细胞与正常细胞的界线是含糊的，除非医术有了进一步发展，能找到更准确有效的分类方法。

以下是练习：

在Matlab 中提供了非常多产生随机数和随机向量的函数，以及计算随机函数的概率密度值的函数。以下是几个较经常使用的函数：

rand() 生成均匀分布随机数

randn() 生成高斯分布随机数

mvnrnd() 生成多元高斯分布的随机向量矩阵

mvnpdf() 计算多元高斯分布的概率密度函数值

在阅读了上述函数的MATLAB在线帮助后，完毕以下的程序实现，分为三个练习：

练习一：在一维区间[10,70]中，生成1000个均匀分布的随机数，然后统计并绘制这些数的直方图；在二维区间[1,5]☓[20,30]中，生成5000 个均匀分布的二维随机点，并绘制出它们的二维散点图。在三维区间[10,50]☓[30,60]☓[10,15]中，生成10000 个均匀分布的三维随机点量，并绘制出它们的三维散点图。

% rand()生成区间[10,70]的1000个随机数
% 并显示直方图

for i = 1:1000
a(i) = rand() * 60 + 10;
end
b = hist(a, 10:70);
figure,bar(10:70, b, 'g');
grid on
title('rand()产生1000个[10,70]的随机数直方图');

for k = 1:5000
    TwoDimension(k,1) = rand() * 4 + 1;
    TwoDimension(k,2) = rand() * 10 + 20;
end
figure,plot(TwoDimension(:,1), TwoDimension(:,2), '*');
xlim([0 6]);
ylim([10 40]);
grid on
title('在[1,5]*[20,30]中产生5000个均匀分布的二维随机点');

for j = 1:10000
    ThreeDimension(j,1) = rand() * 40 + 10;
    ThreeDimension(j,2) = rand() * 30 + 30;
    ThreeDimension(j,3) = rand() * 5 + 10;
end
figure,scatter3(ThreeDimension(:,1),ThreeDimension(:,2),ThreeDimension(:,3),'r');
xlim([0 60]);
ylim([20 70]);
zlim([0 20]);
grid on;
title('产生10000个均匀分布的三维随机点');

输出一维、二维和三维随机点生成效果（边界限定參照要求）：

以下是在练习一基础上的扩展：利用均匀分布的随机数函数，编写能够生成具有三角分布、以及梯形分布的随机数的函数。

用它们生成一定数量的样本数据，并绘制数据分布图。

% 产生5000个随机点，然后依据公式剔除三角形外的点
n = 5000;
x = rand(n,2) * 2;
% 变量名 = @(输入參数列表)运算表达式
fx = @(x)(x < 1).*(2*x)+(x >= 1).*(4-2*x);
g=0:0.2:2;
y=fx(g);
% 绘制边界直线。设定直线粗细
figure,plot(g,y,'r-','linewidth',3);
hold on

% 推断元素在y轴上的值是否超出三角形的边界
% 对边界外的点标记为一个值
for t = 1:n
    if x(t,2) > fx(x(t,1))
       x(t,:) = [0, 0];
    end
end
% 扫描标定的值并删除这些元素，剩下边界内的元素
for t = n:-1:1
    if x(t,:) == [0, 0]
       x(t,:) = [];
    end
end
plot(x(:,1),x(:,2),'o');
title('若干个三角分布的随机点');
% 绘制随机点分布直方图
[f, y] = hist(x(:,1), g);
figure,bar(y,f,1);
title('随机点分布直方图');

% 产生5000个随机点，然后依据公式剔除梯形外的点
n = 5000;
x = rand(n,2) * 3;
% 变量名 = @(输入參数列表)运算表达式
fx = @(x)(x <= 1).*(3*x)+( x > 1 & x <= 2).*3 + (x > 2).*(9-3*x);
g=0:0.1:3;
y=fx(g);
% 绘制边界直线。设定直线粗细
figure,plot(g,y,'r-','linewidth',3);
hold on

% 推断元素在y轴上的值是否超出梯形的边界
% 对边界外的点标记为一个值
for t = 1:n
    if x(t,2) > fx(x(t,1))
       x(t,:) = [0, 0];
    end
end
% 扫描标定的值并删除这些元素，剩下边界内的元素
for t = n:-1:1
    if x(t,:) == [0, 0]
       x(t,:) = [];
    end
end
plot(x(:,1),x(:,2),'o');
title('若干个梯形分布的随机点');
% 绘制随机点分布直方图
[f, y] = hist(x(:,1), g);
figure,bar(y,f,1);
title('随机点分布直方图');

输出三角分布和梯形分布的随机点结果、直方图：

练习二：生成两组各1000个具有不同均值和方差的一维高斯分布的随机数。然后统计并绘制这些点的直方图；生成三组各1000 个具有不同均值矢量和协方差矩阵的二维随机矢量，并绘制出它们的二维散点图。生成五组各1000个具有不同均值矢量和协方差矩阵的三维随机矢量。并绘制出它们的三维散点图。

进一步，绘制上述三维随机矢量数据集合的二维投影散点图。能够指定模式向量的当中两个分量，将集合中每一个向量的这两个分量提取出来构成一个2维模式子分量的向量集合，然后在二维平面上画出该子分量集合的二维散点图。

% 使用randn()两组1000个随机数
% 并显示直方图
% 产生一个随机分布的指定均值和方差的矩阵：将randn产生的结果乘以标准差，然后加上期望均值就可以。

for i = 1:1000
Gaussian(i,1) = sqrt(1) * randn() + 5;
Gaussian(i,2) = sqrt(2) * randn() + 10;
end
G1 = hist(Gaussian(:,1), 0:20);
G2 = hist(Gaussian(:,2), 0:20);
figure,subplot(1,2,1),bar(0:20, G1, 'g');
grid on
title('均值为5，方差为1的高斯分布随机数直方图');
subplot(1,2,2),bar(0:20, G2, 'g');
grid on
title('均值为10，方差为2的高斯分布随机数直方图');

% mvnrnd(mu,sigma,n)
% 产生二维正态随机数，mu为期望向量。sigma为协方差矩阵，n为规模。

mu = [2 2];
sigma = [1 0; 0 2];
r = mvnrnd(mu,sigma,1000);
figure,plot(r(:,1),r(:,2),'r+');
hold on;
mu = [7 10];
sigma = [ 3 0; 0 3];
r2 = mvnrnd(mu,sigma,1000);
plot(r2(:,1),r2(:,2),'b*')
hold on;
mu = [15 20];
sigma = [ 2 0; 0 2];
r3 = mvnrnd(mu,sigma,1000);
plot(r3(:,1),r3(:,2),'go')
grid on;
title('三组高斯二维随机矢量散点图');

% 产生五组不同的三维高斯随机矢量
mu1 = [2 2 2];
sigma1 = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3];
r1 = mvnrnd(mu1,sigma1,1000);

mu2 = [6 0 -4];
sigma2 = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3];
r2 = mvnrnd(mu2,sigma2,1000);

mu3 = [-9 7 0];
sigma3 = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3];
r3 = mvnrnd(mu3,sigma3,1000);

mu4 = [0 15 -2];
sigma4 = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3];
r4 = mvnrnd(mu4,sigma4,1000);

mu5 = [-12 12 -12];
sigma5 = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3];
r5 = mvnrnd(mu5,sigma5,1000);

figure,plot3(r1(:,1),r1(:,2),r1(:,3),'r+',...
             r2(:,1),r2(:,2),r2(:,3),'g+',...
             r3(:,1),r3(:,2),r3(:,3),'b+',...
             r4(:,1),r4(:,2),r4(:,3),'m+',...
             r5(:,1),r5(:,2),r5(:,3),'k+');
grid on
title('五组不同的三维高斯随机矢量');

% 绘制三维随机矢量的二维投影散点图
figure,plot(r1(:,2),r1(:,3),'r+',...
            r2(:,2),r2(:,3),'g+',...
            r3(:,2),r3(:,3),'b+',...
            r4(:,2),r4(:,3),'m+',...
            r5(:,2),r5(:,3),'k+');
grid on
title('三维高斯随机矢量的二维投影，取第2、3维');

练习三：确定一个二维的均值矢量和协方差矩阵。然后利用matlab 中的meshgrid 函数生成一个二维网格。利用mvnpdf 函数计算在每一个网格点上的概率密度函数值，并绘制出这些函数值的三维曲面图。

% 用meshgird，mvnpdf等函数绘制三维网格图
mu = [0 0];
SIGMA = [1 0; 0 1];
[X,Y] = meshgrid(-5:0.2:5, -5:0.2:5); %在XOY面上。产生网格
p = mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,SIGMA); % 求取联合概率密度，相当于Z轴
p = reshape(p,size(X)); % 将Z值相应到相应的坐标上
mesh(X,Y,p); % 绘制
title('三维正态分布图曲面图');

扩展实验2，编写一个生成N 个d 维向量的混合高斯类数据集的函数。当中，生成的数据集中共同拥有N个模式向量。它们分成c 类。

各个类相应的样本数分别为Ni。i = 1, 2, …, c,服从N(mi。Si)，i = 1, 2, …, c 的高斯分布, mi，Si 各自是第i 类的均值向量和协方差矩阵。

取不同的值，在二维空间和三维空间中生成数据。并绘制出散点图进行验证。这里我们创建一个函数实现这个功能MixGaussian()：

% 随机点个数N ,类别C ,维度d 。均值mu， 方差sigma
function result = MixGaussian(N, C, d, mu, sigma)
color = {'r.', 'g.', 'm.', 'b.', 'k.', 'y.'}; % 用于存放不同类数据的颜色
% if nargin <= 3 & N < 0 & C < 1 & d < 1
%   error('參数太少或參数错误');
if d == 1
        for i = 1 : C
            for j = 1 : N/C
            r(j,i) = sqrt(sigma(1,i)) * randn() + mu(1,i);
            end
            X = round(mu(1,i)-5);
            Y = round(mu(1,i) + sqrt(sigma(1,i))+5);
            b = hist(r(:,i), X:Y);
            subplot(1,C,i),bar(X:Y, b,'b');
            title('三类一维随机点的分布直方图');
            grid on
        end
elseif d == 2
            for i = 1:C
                r(:,:,i) = mvnrnd(mu(:,:,i),sigma(:,:,i),round(N/C));
                plot(r(:,1,i),r(:,2,i),char(color(i)));
                hold on;
            end
elseif d == 3
            for i = 1:C
                r(:,:,i) = mvnrnd(mu(:,:,i),sigma(:,:,i),round(N/C));
                plot3(r(:,1,i),r(:,2,i),r(:,3,i),char(color(i)));
                hold on;
            end
else disp('维数仅仅能设置为1，2或3');
end
result = r;

效果例如以下。依据输入的维度、方差、均值等參数的不同均能够输出模式类：

扩展实验3。编写一个绘制由c类共N个d 维模式向量构成的多模式类集合的二维投影画图函数。当中。模式的类别标记已知。不同类别的模式绘制时用不同的颜色表示。当中，d维模式的2维子空间，简单来说就是由d 维模式矢量中的当中2个分量构成向量空间，在作图时以这两个分量做为坐标量，这里定义一个函数TwoDProject()。

% 输入数据。输出二维投影。X,Y为坐标轴选择
function TwoDProject(data, X, Y)
color = {'r.', 'g.', 'm.', 'b.', 'k.', 'y.'}; % 用于存放不同类数据的颜色
figure;
[a,b,c] = size(data);
if X == 1 && Y == 2
    for i = 1:c
    plot(data(:,X,i),data(:,Y,i),char(color(i)));
    hold on;
    end
elseif X == 1 && Y == 3
    for i = 1:c
    plot(data(:,X,i),data(:,Y,i),char(color(i)));
    hold on;
    end
elseif X == 2 && Y == 3
    for i = 1:c
    plot(data(:,X,i),data(:,Y,i),char(color(i)));
    hold on;
    end
else
    disp('维数设置错误');
end
    grid on;
    title('多维随机点的二维投影图');

以上完整代码可在此处下载：http://download.csdn.net/detail/liyuefeilong/8499915