后缀数组入门（二）——Height数组与LCP

前言

看这篇博客前，先去了解一下后缀数组的基本操作吧：后缀数组入门（一）——后缀排序。

这篇博客的内容，主要建立于后缀排序的基础之上，进一步研究一个\(Height\)数组以及如何求\(LCP\)。

什么是\(LCP\)

\(LCP\)，即\(Longest\ Common\ Prefix\)，是最长公共前缀的意思。

而在后缀数组中，\(LCP(i,j)\)表示后缀\(_{SA_i}\)与后缀\(_{SA_j}\)的最长公共前缀的长度，注意是\(SA_i\)和\(SA_j\)，而不是\(i\)和\(j\)。

\(LCP\)的性质

先是几个比较简单的基本性质：

• \(LCP(i,j)=LCP(j,i)\)

  这应该是比较显然的。

• \(LCP(i,i)=n-SA_i+1\)

  这个性质非常重要，因为在求\(LCP\)的过程中要特判该情况，不然会死得特别惨。

接下来，是一些比较复杂的性质：

• \(LCP(i,j)=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)（对于任意\(1\le i\le k\le j\)）

  首先，设\(x=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)，则可得\(LCP(i,k)\ge x,LCP(j,k)\ge x\)。

  因此我们可以知道后缀\(_{SA_i}\)，后缀\(_{SA_j}\)的前\(x\)个字符分别与后缀\(_{SA_k}\)的前\(x\)个字符相等。

  则后缀\(_{SA_i}\)，后缀\(_{SA_j}\)的前\(x\)个字符相等，即\(LCP(i,j)\ge x\)。

  而由于后缀\(_{SA_i}<\)后缀\(_{SA_k}<\)后缀\(_{SA_{j}}\)，且由\(x=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)可得，\(LCP(i,j)\le x\)。

  故\(LCP(i,j)=x\)。

• \(LCP(i,j)=min_{k=i+1}^jLCP(k,k-1)\)

  由\(LCP(i,j)=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)这个性质，我们可以把\(LCP(i,j)\)拆成\(j-i\)个部分，分别为\(LCP(i+1,i),LCP(i+2,i+1),...,LCP(j,j-1)\)。

  然后再取\(min\)即可。

这两个性质虽然看似令人匪夷所思，但仔细理解其实还是能看懂的。

这两个性质在\(LCP\)的求解过程中发挥着十分重要的作用。

\(Height\)数组

为了方便求解\(LCP\)，我们需要在定义一个新的数组：\(Height\)数组。

\(Height_i\)表示的是\(LCP(i,i-1)\)。

因此\(LCP(i,j)\)的结果就是\(min_{k=i+1}^jHeight_i\)，这似乎可以在知道\(Height\)数组的情况下用\(RMQ\)实现\(O(1)\)求解。

于是关键来了：如何求出\(Height\)数组。

如何求\(Height\)数组

首先我们要知道一个性质\(Height_{i}\ge Height_{i-1}-1\)。

这个性质我也不会证，反正它还是挺简单的，背一下就好了。

这样一来，我们每次可以把\(Height_{i}\)初始化为\(Height_{i-1}-1\)，然后每次尽量向外延长即可，这一过程似乎与\(Manacher\)算法有点类似。

代码

放一份求\(Height\)数组及\(LCP\)的模板代码：

class Class_SuffixArray
{
    private:
        int n,SA[N+5],Height[N+5],rk[N+5],pos[N+5],tot[N+5];
        inline void RadixSort(int S)//基数排序
        {
            register int i;
            for(i=0;i<=S;++i) tot[i]=0;
            for(i=1;i<=n;++i) ++tot[rk[i]];
            for(i=1;i<=S;++i) tot[i]+=tot[i-1];
            for(i=n;i;--i) SA[tot[rk[pos[i]]]--]=pos[i];
        }
        inline void GetSA(char *s)//后缀排序，求SA数组
        {
            register int i,k,Size=122,cnt=0;
            for(i=1;i<=n;++i) rk[pos[i]=i]=s[i-1];
            for(RadixSort(Size),k=1;cnt<n;k<<=1)
            {
                for(Size=cnt,cnt=0,i=1;i<=k;++i) pos[++cnt]=n-k+i;
                for(i=1;i<=n;++i) SA[i]>k&&(pos[++cnt]=SA[i]-k);
                for(RadixSort(Size),i=1;i<=n;++i) pos[i]=rk[i];
                for(rk[SA[1]]=cnt=1,i=2;i<=n;++i) rk[SA[i]]=(pos[SA[i-1]]^pos[SA[i]]||pos[SA[i-1]+k]^pos[SA[i]+k])?++cnt:cnt;
            }
        }
        inline void GetHeight(char *s)//求Height数组
        {
            register int i,j,k=0;
            for(i=1;i<=n;++i) rk[SA[i]]=i;//更新rk数组
            for(i=1;i<=n;++i)
            {
                if(k&&--k,!(rk[i]^1)) continue;//对于rk[i]=1的情况直接跳过
                j=SA[rk[i]-1];//找到上一个后缀的坐标
                while(i+k<=n&&j+k<=n&&!(s[i+k-1]^s[j+k-1])) ++k;//尽量拓展
                Height[rk[i]]=k;//存值
            }
        }
        class Class_RMQ//RMQ求区间最值
        {
            private:
                #define LogN 15
                int Log2[N+5],Min[N+5][LogN+5];
            public:
                inline void Init(int len,int *data)
                {
                    register int i,j;
                    for(i=2;i<=len;++i) Log2[i]=Log2[i>>1]+1;
                    for(i=1;i<=len;++i) Min[i][0]=data[i];
                    for(j=1;(1<<j-1)<=len;++j) for(i=1;i+(1<<j-1)<=len;++i) Min[i][j]=min(Min[i][j-1],Min[i+(1<<j-1)][j-1]);
                }
                inline int GetMin(int l,int r) {register int k=Log2[r-l+1];return min(Min[l][k],Min[r-(1<<k)+1][k]);}
        }RMQ;
    public:
        inline void Init(int len,char *s) {n=len,GetSA(s),GetHeight(s),RMQ.Init(n,Height);}//初始化
        inline int LCP(int x,int y) {return x^y?(rk[x]>rk[y]&&swap(x,y),RMQ.GetMin(rk[x]+1,rk[y])):n-x+1;}//求LCP，注意特判x=y的情况
};