hdu 3537 Daizhenyang's Coin(博弈-翻硬币游戏)
题意:每次可以翻动一个、二个或三个硬币。(Mock Turtles游戏)
初始编号从0开始。
当N==1时,硬币为:正,先手必胜,所以sg[0]=1.
当N==2时,硬币为:反正,先手必赢,先手操作后可能为:反反或正反,方案数为2,所以sg[1]=2。
当N==3时,硬币为:反反正,先手必赢,先手操作后可能为:反反反、反正反、正反正、正正反,方案数为4,所以sg[2]=4。
位置x:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
sg[x]: 1 2 4 7 8 11
13 14 16 19 21 22 25 26 28…
看上去sg值为2x或者2x+1。我们称一个非负整数为odious,当且仅当该数的二进制形式的1出现的次数是奇数,否则称作evil。所以1,2,4,7是odious因为它们的二进制形式是1,10,100,111.而0,3,5,6是evil,因为它们的二进制形式是0,11,101,110。而上面那个表中,貌似sg值都是odious数。所以当x为odious时,sg值是2x,当x是evil时,sg值是2x+1.
这样怎么证明呢?我们会发现,
evil^evil=odious^odious=evil
evil^odious=odious^evil=odious
假设刚才的假说是成立的,我们想证明下一个sg值为下一个odious数。注意到我们总能够在第x位置翻转硬币到达sg为0的情况;通过翻转第x位置的硬币和两个其它硬币,我们可以移动到所有较小的evil数,因为每个非零的evil数都可以由两个odious数异或得到;但是我们不能移动到下一个odious数,因为任何两个odious数的异或都是evil数。
假设在一个Mock Turtles游戏中的首正硬币位置x1,x2,…,xn是个P局面,即sg[x1]^…^sg[xn]=0.那么无可置疑的是n必定是偶数,因为奇数个odious数的异或是odious数,不可能等于0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1,sg[x]又是偶数个,那么x1^x2^…^xn=0。相反,如果x1^x2^…^xn=0且n是偶数,那么sg[x1]^…^sg[xn]=0。这个如果不太理解的话,我们可以先这么看下。2x在二进制当中相当于把x全部左移一位,然后补零,比如说2的二进制是10,那么4的二进制就是100。而2x+1在二进制当中相当于把x全部左移一位,然后补1,比如说2的二进制是10,5的二进制是101。现在看下sg[x1]^…^sg[xn]=0,因为sg[x]是2x或者2x+1,所以式子中的2x+1必须是偶数个(因为2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1,要最后异或为0,2x+1必须出现偶数次)。实际上的情况可能是这样的:
MT游戏当中的P局面是拥有偶数堆石子的Nim游戏的P局面。
// Time 15ms; Memory 304K
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int n,a[110],s,i,t,p;
while(cin>>n)
{
s=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
sort(a,a+n);
for(i=0;i<n;i++) if(i==0 || a[i]!=a[i-1])
{
t=a[i];p=0;
while(t)
{
if(t%2) p++;
t/=2;
}
if(p%2) s^=2*a[i];
else s^=2*a[i]+1;
}
if(s) cout<<"No"<<endl;
else cout<<"Yes"<<endl;
}
return 0;
}
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