前四题过水

E

枚举正方形的上边界所在行。对于第 \(i\) 行一个没洞的位置 \((i,j)\),我们尝试求出以它为右上角的无洞正方形个数。

结论:设以 \((i,j-1)\) 为右上角的无洞正方形边长最大为 \(len\),那以 \((i,j)\) 为右上角的无洞正方形边长最大为 \(len + 1\)。

以 \((i,j)\) 为右上角的边长为 \(len+2\) 的无洞正方形包含了以 \((i,j-1)\) 为右上角的边长为 \(len+1\) 的无洞正方形,矛盾。

而以 \((i,j)\) 为右上角边长能为 \(len+1\) 的充要条件是:

  1. \((i,j)\) 往下 \(len+1\) 个格子都无洞;

  2. \((i,j+len)\) 往左 \(len+1\) 个格子都无洞。

预先记录 \(lft[i][j],dwn[i][j]\) 表示从 \((i,j)\) 往左/下第一次碰到洞是什么地方。\(O(n^2)\) 预处理。

另外,如果 \((i,j)\) 不能达到 \(len+1\),那边长最大为 \(dwn[i][j]-i+1.\)

然后可以扫一遍行,每行找所有无洞的位置,每个位置 \(ans+=\) 这个位置右上角的最大边长。

\(O(n^2)\)。

(官方发的题解貌似是 dp,\(dp[i][j]\) 表示以 \((i,j)\) 为右下角的无洞正方形个数)

F

有一个矩阵,一些格子已经被染成黑色。你可以把剩下的格子任意选一些染成黑色。有多少种染色方案使得每个黑格 \((i,j)\),\((i+1,j)\) 和 \((i+1,j+1)\) 都是黑格?

\(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 列,第 \(i\) 列最高黑格位置是第 \(j\) 行的方案数。

容易发现 \(dp[i-1][j+2\sim n]\) 不能转移到 \(dp[i][j]\),其他 \(dp[i - 1][]\) 都可以。

同时注意 \(dp[i][j]\) 的 \(j\ge\) 第 \(i\) 列的最高黑格高度。

然后就是正常转移,加上前缀和优化

G

找出矩形使得(矩阵和 \(\times\) 矩阵最小值)最大。

直接暴力枚举最小值,然后使用悬线法

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