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拟阵的定义与常见性质 & 拟阵交算法

拟阵的定义与常见性质

独立集系统和拟阵

定义独立集系统\(S=(E，\mathcal{I})\)，\(E\)是基本元素的集合，\(\mathcal{I} \subseteq 2^{E}\)，\(\mathcal{I}\)中的元素称为独立集。

\(\mathcal{I}\)需要满足遗传性：如果\(A \in \mathcal{I}，B \subseteq A\)，那么\(B \in \mathcal{I}\)。

举例：

定义在无向图\(G(V，E)\)上的独立集系统，\(\mathcal{I}\)是不构成环的边集合，显然满足遗传性。

求无向图的最大生成树，实际上是先给\(E\)中每个元素赋予一个权值(边权)，然后求一个权值最大的独立集。

回忆一下kruskal算法，每次选一条边权最大的边，如果把它加入答案不形成环，就把它加入答案。

推广一下，给定任意独立系统，任意给每个元素一个非负的权值，要求权值最大的独立集，容易得到下面的贪心算法:

1. 将元素按权值从大到小排序。

2. 按顺序依次考虑每个元素，如果把这个元素加入答案后仍然是一个独立集，就加入答案。

不幸的是，这个算法只有在特定条件下才会给出最优解。

比如考虑求二分图图的最大权值匹配，定义独立集为可以形成匹配的边集。考虑一个4个点3条边的图\(V=\{u\_1, u\_2, u\_3, u\_4\}, w(u\_1,u\_2)=w(u\_3, u\_4)=5, w(u\_1, u\_4)=8, w(u\_2, u\_3) = 1\)，贪心算法会选择边\((u\_1, u\_4), (u\_2, u\_3)\)，权值是9，最优解是\((u\_1, u\_2), (u\_3,u\_4)\)，权值是10。

我们把贪心算法能够使用的独立集系统称为拟阵(matroid)，比如上面定义在无向图边集上的独立集系统(一个边集是独立集当且仅当不包含环)，贪心算法实际上就是kruskal算法，为了方便，给它一个名字叫图拟阵(graphic matroid)。

特别地，很多问题只要求取一个最大的独立集，即元素权重都是单位1的特殊情况，如果这个独立集系统是拟阵，我们称这种拟阵叫做unweighted matroid。

拟阵的性质

那么如何判定一个独立集系统\(M\)是不是拟阵呢？下面三条定义是等价的:

1. \(M\)是拟阵，任意给元素分配非负的权值，贪心算法能得到最优解。
2. 假设有2个独立集\(I\_1, I\_2, |I\_2| = |I\_1|+1\)，那么\(\exists e \in I_1 - I_2, I_1 \cup e \in \mathcal{I}\)。 通俗地讲，就是如果2个独立集大小相差1，那么一定可以从大的独立集那里拿一个给小的，使新的集合还是独立集。
3. 若\(A \subseteq E\)，\(I\_1, I\_2 \subseteq A\)是\(A\)上的极大独立集，那么\(|I\_1|=|I\_2|\)。也就是\(E\)的任意子集上的极大独立集大小相同。

证明

links

接下来引入几个概念:

1. 秩(Rank)：根据上面第3条，\(E\)的任意子集\(A\)上的极大独立集大小相等。这个大小就是\(A\)的秩，记为\(r(A)\)。
2. 基(Basis)：\(A\)的基上的任意极大独立集称为\(A\)的基。
3. 回路(Circuit)：极小的非独立集（相关集），即它本身不是独立集，但删掉任意一个元素后都是独立集。

为了方便理解，我们以图拟阵为例子.

图拟阵中任意边集\(A \subseteq E\)，\(r(A)\)是其生成子图的生成森林边数, 基就是任意生成森林，回路就是一个简单环。

再看一个独立集系统，它的元素集合是一些维数相同的向量，独立集的定义就是线性无关的向量集合。根据线性代数的知识，任意向量集合的极大线性无关组大小相同，即满足上面的判断独立集是否是拟阵的第3条，所以该独立集系统是一个拟阵，之后我们称它为线性拟阵。

线性拟阵的秩，基都和线性代数中吻合，回路就是极小的线性相关组。

为了后面证明的方便，再引入一个概念：

1. 闭包(closure)：\(cl(A)=\lbrace e|r(A+e)=r(A)\rbrace\)。

闭包的性质：若\(e \in cl(A)\)，则\(cl(A) = cl(A+e)\)，也就是说，\(cl(A)=cl(cl(A))\)。

拟阵交

问题定义

有两个拟阵\(M\_1=(E,\mathcal{I}\_1),M\_2=(E,\mathcal{I}\_2)\)，求\(I \in \mathcal{I}\_1 \cap \mathcal{I}\_2\)且使得\(|I|\)尽量大。

注意这里的\(\mathcal{I}\_1,\mathcal{I}\_2\)是“集合的集合”，\(I\)是“集合”。

算法感性认识

类比二分图最大匹配

许多时候，一个组合优化问题并不能表示成一个拟阵，但是却可以表示成两个拟阵甚至更多拟阵的交。比如二分图匹配，之前我们已经举了一个反例说明它虽然是个独立集系统，但并不是一个拟阵。然而，我们可以把它表示成两个拟阵的交:

我们用\(G(L,R,E)\)表示一个二分图，\(L,R\)分别是两边的顶点集合，\(E\)是边集，也是拟阵的基本元素集合。

定义拟阵\(M\_1=(E,\mathcal{I}\_1)\): 边集\(A \in \mathcal{I}\_1\) 当且仅当\(A\)中边的左端点互不相同。

定义拟阵\(M\_2=(E,\mathcal{I}\_2)\): 边集\(A \in \mathcal{I}\_2\) 当且仅当\(A\)中边的右端点互不相同。

\(M\_1,M\_2\)是拟阵这一点可以自行验证。那么\(I \in \mathcal{I}\_1 \cap \mathcal{I}\_2\)且\(|I|\)尽量大的\(I\)就是二分图的一组最大匹配。

然后回忆匈牙利算法的过程，实际上就是找增广路。假设我们是从左边的点出发找到了增广路，设这条路的边为\(e\_1,e\_2,\cdots,e\_{2k},e\_{2k+1}\)（下标为偶数的边是之前的一些匹配边），之前的整个匹配边集为\(I\)，那么\(I+e\_1-e\_2+\cdots-e\_{2k}+e\_{2k+1}\)是新的一个匹配边集。

我们从拟阵的角度来看这个过程，\(I+e\_1\)仍然是拟阵\(M\_1\)的独立集，即\(I+e\_1 \in \mathcal{I}\_1\)。但多了一条边之后，右边的某个点就会和\(2\)条边相关，右边的独立性被破坏。所以又变成\(I+e\_1-e\_2 \in \mathcal{I}\_2\)，又让右边满足独立，而且是去掉一个元素，左边肯定还是独立。

最终\(I+e\_1-e\_2+\cdots-e\_{2k}+e\_{2k+1}\)在保持左边独立性的前提下让独立集大小增加1，而且右边也是独立的，于是就找到了一条增广路。

这个过程本质上是在奇数步尝试增加一个元素，并且保持\(M\_1\)的独立性，然而这可能会导致\(M\_2\)的独立性被破坏，所以在偶数步又去掉一个元素，使得重新满足\(M\_2\)中的独立性，直到在某个奇数步能找到一个元素，使得加上这个元素也不会破坏右边的独立性。我们也尝试把这种方法应用在一般的拟阵交问题上。

但是有一个问题，用上面的方法找增广路，在第\(i\)步找一个元素\(e\_i\)，它符不符合要求是和\(e\_1,e\_2,\cdots,e\_{i-1}\)的选择有关的，这样搜索空间就相当大了，所以我们需要把增广路的条件放宽一点，后面会证明放宽之后找到的解也一定是最优解。

考虑奇数步，原本的条件是\(I+e\_1-e\_2+\cdots-e\_{2k}+e\_{2k+1} \in \mathcal{I}\_1\)，但是这个条件太难了，我们放宽成\(I-e\_{2k}+e\_{2k+1} \in \mathcal{I}_1\)。同理偶数步放宽成\(I-e\_{2k}+e\_{2k-1} \in \mathcal{I}_2\)。

算法流程

有两个拟阵\(M\_1=(E,\mathcal{I}\_1),M\_2=(E,\mathcal{I}\_2)\)，求交。

设目前得到的答案集合\(I\)，初始时\(I\)为空集。显然\(I\)是\(E\)的子集。

对\(E\)中每个元素建一个点，属于\(I\)的元素为左部，不属于的为右部，建成二分图。再另建源点\(S\)和汇点\(T\)。

• 如果\(e \in E - I, I + e \in \mathcal{I}_1\)，连边\((S,e)\)。

• 如果\(e \in E - I, I + e \in \mathcal{I}_2\)，连边\((e,T)\)。

• 如果$e_x \in I, e_y \in E - I, I - e_x + e_y \in \mathcal{I}_1 \(，连边\)(e_x,e_y)$。

• 如果$e_x \in I, e_y \in E - I, I - e_x + e_y \in \mathcal{I}_2 \(，连边\)(e_y,e_x)$。

然后对这个图求\(S\)到\(T\)的最短路，把最短路中在集合\(I\)中的元素从集合\(I\)中去掉，把最短路中不在集合\(I\)中的元素（\(S\)和\(T\)除外）加入集合\(I\)，进行下一次建图。

易知每次\(I\)的大小会增加\(1\)，算法在\(S\)到\(T\)不连通时终止，此时\(I\)就是答案。

令\(r=\max(r(M\_1),r(M\_2)),n=|E|\)，我们每次构建出来的图都是\(n\)个点，\(rn\)条边的图。由于增广次数不超过\(r\)，时间复杂度\(O(r^2n)\)。

感性理解连边

由于是把左部的点\(e\_x\)换成右部的点\(e\_y\)，所以都是\(I - e\_x + e\_y\)。

连边的方向可以先感性理解：有一种想法是就像上面说的一样，奇数步\(\mathcal{I}\_1\)，偶数步\(\mathcal{I}_2\)。还有一种想法是，因为连好之后是从\(S\)直接到右部点\(e\_y\)，\(e\_y\)相关的一条信息是\(I + e\_y \in \mathcal{I}_1\)，这个右部点接下来会向左走增广路，那么和这个右部点相关的另外一条信息就应该和\(\mathcal{I}_2\)有关了。

算法正确性证明

正确性证明分为两个方面：

• 证明对于每一步增广得到的\(I\)，\(I \in \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2\)。

• 证明不能再增广的时候得到的是大小最大的\(I\)。

一方面

对于这个问题，我们的证明思路是，设增广路上的左部点是\(x\_1,\cdots,x\_n\)，右部点是\(y\_1,\cdots,y\_n,y\_{n+1}\)。我们想证明的是\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_1+\cdots+y\_n+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_1\)且\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_1+\cdots+y\_n+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_2\)。

先证\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_1+\cdots+y\_n+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_1\)，由于\(y\_1\)这个点是直接和\(S\)相连的，满足\(I + y\_1 \in \mathcal{I}_1\)，我们只需要证\(I\)和\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1}\)具有相似的性质，以至于在\(I + y\_1 \in \mathcal{I}_1\)式中，可以直接把\(I\)替换为\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1}\)。

具体来说，可以先证\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_1\)。假设我们已经证明了，由于增广路是最短路，所以\(I+y\_i \notin \mathcal{I}_1 (i \ge 2)\)，所以\(r(I)=|I|=r(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1})=r(I+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1})\)（第三个等号成立是由于两个集合的闭包相等），又因为\(I + y\_1 \in \mathcal{I}_1\)，那么沿用拟阵上最优化问题的思路，相当于集合里面的元素为\(I + y\_1\)，加进去不形成环就往里加，最终所有的元素都能加进去。现在集合里面的元素增加了，变成\(I+y\_1+\cdots+y\_n+y\_{n+1}\)，在排序的时候把\(y\_i\)排到\(x\_i\)前面，加进去不形成环就往里加，最终加进去的元素集合就是\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_1+\cdots+y\_n+y\_{n+1}\)。

所以说剩下就是如何证\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_1\)。

对拟阵\(M=(E,\mathcal{I})\)定义交换图\(D\_M(I)(I \in \mathcal{I})\)。交换图是一个二分图，左部是\(I\)，右部是\(E-I\)，如果对于\(x \in I,y \in E-I\)，有\(I-x+y \in \mathcal{I}\)，那么就连无向边\((x,y)\)。我们证明一个辅助证明的定理：

设\(I \in \mathcal{I}\)，\(J\)是一个大小等于\(I\)的由\(E\)中元素组成的集合，如果在\(D\_M(I)\)中存在唯一一个\(I-J\)到\(J-I\)的完美匹配，则\(J \in \mathcal{I}\)。

令\(N\)为完美匹配，把\(N\)中的边重定向，从\(E-I\)连向\(I\)，其余边从\(I\)连向\(E-I\)。由于匹配是唯一的，那么图中不存在环，所以可以拓扑排序，即可以把所有点重标号，使得边都是从标号小的指向标号大的。又因为从右部连回左部的边只有匹配大小这么多条，且是一一对应的连边，所以在处理右部连回左部的边时，我们给右部和左部的点相同大小的标号，那么这个图就有一个关键性质：左部点连向的右部点满足右部点的标号都不小于左部点的标号。

接下来使用反证法，设\(J\)不是独立集，那么\(J\)中必定存在环\(C\)，设\(y\_i\)是环中标号最大（且为\(i\)）的右部元素，由于之前的构造，对于环中其他的右部元素\(y\)，其匹配点\(x\_i\)到\(y\)是没有边的。没有边就说明\(I-x\_i+y \notin \mathcal{I}\)，也就是说\(y \in cl(I-x\_i)\)，即\(C-y\_i \subset cl(I-x\_i)\)。

两边同时取闭包\(cl(C-y\_i) \subset cl(I-x\_i)\)，因为\(C\)是环，所以\(y\_i \in cl(C-y\_i)\)，所以\(y\_i \in cl(I-x\_i)\)，但是这和\((x\_i,y\_i)\)是交换图的匹配边矛盾。这样我们就证明了这个定理。

证\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_1\)，只需让\(J=I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_2+\cdots+y\_n+y\_{n+1}\)，那么由最短路可知匹配是完美且唯一的，这样就证出来了。

证明另外一边\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_1+\cdots+y\_n+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_2\)也是一样的，容易想到是利用\(I+y\_{n+1} \in \mathcal{I}_2\)，然后证明\(I\)和\(I-x\_1-\cdots-x\_n+y\_1+\cdots+y\_n\)是差不多的东西。

另一部分

直接证Min-Max Formula。

\[\max\_{I \in \mathcal{I}}|I| = \min\_{U \subseteq E}{r\_1(U)+r\_2(E - U)}
\]

首先容易证明\(\forall I \in \mathcal{I}, \forall U \subseteq E, |I| \leq r\_1(U)+r\_2(E - U)\)。

• 把\(I\)分成\(A=I \cap U\)和\(B=I-A\)两部分。
• \(A \subseteq U, A \in \mathcal{I}\_1 \rightarrow r\_1(U) \geq |A|\)
• \(B \subseteq E - U, B \in \mathcal{I}\_2 \rightarrow r\_2(E - U) \geq |B|\)

我们设\(U\)为交换图中可以到达\(T\)的点集。上面我们证了\(r\_1(U) \geq |I \cap U|\)。现在我们证\(r\_1(U) \le |I \cap U|\)。反证法，如果\(r\_1(U) > |I \cap U|\)，这就说明能到达\(T\)的点组成\(M_1\)的独立集的大小是要大于在交换图的左部且能到达\(T\)的点数，也就是说存在一个交换图中右部的点\(y\)，使得\(I \cap U + y \in \mathcal{I}\_1\)。有可能是\(I + y \in \mathcal{I}\_1\)，但这说明\(S\)要向\(y\)连边，而\(y\)又能到\(T\)，那么\(S\)和\(T\)依旧连通，矛盾。也有可能是存在一个\(x \in I-U\)，使得\(I - x + y \in \mathcal{I}\_1\)，但这说明\(x\)要向\(y\)连边，而\(y\)又能到\(T\)，那说明\(x\)也能到\(T\)，但\(x \notin U\)，也矛盾。对于\(r\_2(E - U) \le |I - A|\)的证明也类似，这里就不再重复。

综上，我们证明了算法结束的时候存在一个\(U\)，使得\(|I|\)能取到最大值，这就证明了算法的正确性。

推广

带权拟阵交

相当于每个元素有权值，求独立集的交，使得权值和最大。

依赖于拓展的Min-Max Formula。

实际的算法中，我们只要在交换图中定义点权，左部点（\(x \in I\)）的点权设为\(-w(x)\)，右部点（\(y \in E-I\)）的点权设为\(w(y)\)，求最短路的过程改为求一条从\(S\)到\(T\)的路径，第一关键字是点权最大，第二关键字是经过的边数最小即可。证明略。

多个拟阵交

由于拟阵的交不是拟阵，所以不能两两求交。可以把多个拟阵的交规约到哈密顿路问题上，从而证明多个拟阵的交是NP-hard的。证明略。

例题

二分图匹配

上面的分析就用的二分图匹配。这里略。

最小树形图

定义拟阵\(M\_1=(E,\mathcal{I}\_1)\): 边集\(A \in \mathcal{I}\_1\) 当且仅当\(A\)的边看作无向边时无环。

定义拟阵\(M\_2=(E,\mathcal{I}\_2)\): 边集\(A \in \mathcal{I}\_2\) 当且仅当\(A\)的边每个点入度不超过一，特别地根入度为零。

Colorful Tree

给定带权无向图 \(G(V, E)\) ，每条边拥有一个 \(1\) 到 \(n−1\) 中的颜色，求一个权最大的生成树，满足每种颜色只出现一次。

定义拟阵\(M\_1=(E,\mathcal{I}\_1)\): 边集\(A \in \mathcal{I}\_1\) 当且仅当\(A\)的边无环。

定义拟阵\(M\_2=(E,\mathcal{I}\_2)\): 边集\(A \in \mathcal{I}\_2\) 当且仅当\(A\)的边每种颜色出现次数不超过一。