[问题2014S08]  设分块上三角阵 \[A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(m\) 阶方阵 \(A_1\) 的 Jordan 标准型为 \(J_1\), \(n\) 阶方阵 \(A_2\) 的 Jordan 标准型为 \(J_2\), 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值. 证明: 矩阵 \(A\) 的 Jordan 标准型就是 \[\begin{bmatrix} J_1 & 0 \\ 0 & J_2 \end{bmatrix}.\]

注  (1) 本题是复旦高代教材第 293 页复习题 15 的推广, 在那道题目中, \(A_1,A_2\) 的 Jordan 标准型 \(J_1,J_2\) 都只由一个 Jordan 块构成, 这里我们取消了这个限制.

(2) 由本题还可以得到如下推论: 如果 \(A_1,A_2\) 都可以对角化, 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值, 那么矩阵 \(A\) 也可以对角化. 这个推论是复旦高代教材第 249 页复习题 7 的推广.

(3) 在本题中, \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值是最本质的条件. 有了这个条件, 不管 \(B\) 是怎样的矩阵, 都对 \(A\) 的 Jordan 标准型不产生任何影响; 但如果没有这个条件, 一般情况下结论并不成立. 比如我们看如下例子: 设 \(A_1=A_2=(1)\), \(B=(1)\), 则 \(A\) 的 Jordan 标准型不是 \(I_2\), 而是 \(J_2(1)\).

[问题2014S08] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第八教学周）的更多相关文章

  1. [问题2014S01] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第一教学周）

    问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ...

  2. [问题2014S09] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014S09]  证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{d ...

  3. [问题2014S02] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第二教学周）

    问题2014S02  设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) ...

  4. [问题2015S01] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第二教学周）

    [问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, ...

  5. [问题2015S08] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2015S08]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\overline{A}\) 与 \(\overline{A}A\) 相似, 其中 \(\overline{A}\) ...

  6. [问题2014A07] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014A07]  设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mat ...

  7. [问题2014S12] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十二教学周）

    [问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB ...

  8. [问题2014S06] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第六教学周）

    [问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题: 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线 ...

  9. [问题2014S03] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第三教学周）

    [问题2014S03]  设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且 \(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数. 若 \(A\) 的所有 \(n-1\) 阶主子式之和等于零, ...

随机推荐

  1. 安装完MySQL数据库，在服务列表里找不到MySQL的解决办法

    安装MySQL数据库完成后,在控制面板的服务列表里找不到MySQL服务启动项解决方案:(参考以下命令)1.打开cmd,切换到mysql的bin目录下 (dos命令切换目录||1.cd\ 返回到根目录, ...

  2. IOS彩票第一天基本框架搭建

    *****初始化 - (BOOL)application:(UIApplication *)application didFinishLaunchingWithOptions:(NSDictionar ...

  3. springmvc Failed to load resource: the server responded with a status of 404 (Not Found)

    jsp页面导入css.js提示上述问题. Spring对静态资源的请求做专门处理 <!-- 对静态资源的请求 --><mvc:resources location="/js ...

  4. A trip through the Graphics Pipeline 2011_12 Tessellation

    Welcome back! This time, we’ll look into what is perhaps the “poster boy” feature introduced with th ...

  5. 导入TDP数据包备份

    package org.alfresco.repo.bom.util; import java.io.BufferedReader; import java.io.File; import java. ...

  6. 读过的laravel文章

    Laravel 中使用 JWT(Json Web Token) 实现基于API的用户认证 http://www.tuicool.com/articles/IRJnaa api token https: ...

  7. c语言-交换两个整数

    使用c来写一个函数来实现交换两个整数. 第一种 一般的方法,引用中间变量,方便快捷. void swap(int *a, int *b) { int tmp = *a; *a = *b; *b = t ...

  8. 安卓仿微信Tab页用Fragment实现

    最终效果图如: 实现步骤: 新建项目tabdemo,我选的是4.0.3版本,然后依次新建三个Fragment,名字分别为:ChatFragment.FriendFragment.FindFragmen ...

  9. Linux下暴力破解工具Hydra详解

    一.简介 Number one of the biggest security holes are passwords, as every password security study shows. ...

  10. erlang rabbitmq-server安装

    erlang rabbitmq-server安装 yum -y install   xsltproc fop tk unixODBC unixODBC-devel make gcc gcc-c++ k ...