[JZOJ6244]【NOI2019模拟2019.7.1】islands【计数】【图论】

Description

n<=1e9,M,K<=100

Solution

显然任选m个港口的答案是一样的，乘个组合数即可。

考虑枚举m个港口的度数之和D

可以DP计算

记\(F_{m,D}\)为将D的度数分给m个港口的方案数

枚举新的一个度数分配给谁，然后此时可能某一个超出了限制，减掉这一个的贡献。

接下来我们可以用一个超级根把D个点连起来

prufer序简单计数即可

\(n-m+1\)个点，其中超级根出现了\(D-1\)次

就是\({n-m-1\choose D-1}(n-m)^{n-m-D}\)

总的答案为$${n\choose m}\sum\limits_{i=0}^{mK}F_{m,i}{n-m-1\choose D-1}(n-m)^{n-m-D}$$

组合数取模的时候，我们先对模数分解质因子，每次组合数相当于乘一个数除一个数

暴力枚举质因子，剩下的部分就有逆元了

注意n=m的时候会有问题需要特判。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
const int N=105;
typedef long long LL;
using namespace std;
int t,n,m,num,l,mo,f[N][N*N],cs[N*N][N],pr[N][2];
LL ksm(LL k,LL n)
{
	LL s=1;
	for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
	return s;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(b==0) {x=1,y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
}
LL ny(int k)
{
	LL x,y;
	exgcd(k,mo,x,y);
	return (x%mo+mo)%mo;
}
void make(int n)
{
	num=0;
	int n1=sqrt(n);
	fo(i,2,n1)
	{
		if(n%i==0)
		{
			pr[++num][0]=i;
			while(n%i==0) pr[num][1]++,n/=i;
		}
	}
	if(n>1) pr[++num][0]=n,pr[num][1]=1;
}
int pv[N];
void mul(LL &s,LL v)
{
	if(v!=0) fo(i,1,num) while(v%pr[i][0]==0) v/=pr[i][0],pv[i]++;
	s=s*v%mo;
}
void dvi(LL &s,LL v)
{
	fo(i,1,num) while(v%pr[i][0]==0) v/=pr[i][0],pv[i]--;
	s=s*ny(v)%mo;
}
LL get(LL s)
{
	fo(i,1,num) s=s*ksm(pr[i][0],pv[i])%mo;
	return s;
}
int main()
{
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&mo);
		if(n==m) {printf("%d\n",1%mo);continue;}
		cs[0][0]=1%mo;
		make(mo);
		fo(i,1,m*l)
		{
			cs[i][0]=1%mo;
			int r=min(i,l);
			fo(j,1,r) cs[i][j]=((LL)cs[i-1][j]+cs[i-1][j-1])%mo;
		}
		f[0][0]=1;
		fo(i,1,m)
		{
			int r=min(i*l,n-m);
			f[i][0]=1;
			fo(j,1,r)
			{
				f[i][j]=(LL)f[i][j-1]*i%mo;
				if(j>l) f[i][j]=(f[i][j]-(LL)cs[j-1][l]*f[i-1][j-1-l]%mo*i%mo+mo)%mo;
			}
		}
		memset(pv,0,sizeof(pv));
		LL v=1,ans=0;int r=min(n-m,l*m);
		fo(i,1,r)
		{
			ans=(ans+ksm(n-m,n-i-m)*f[m][i]%mo*get(v)%mo)%mo;
			mul(v,n-m-i),dvi(v,i);
		}
		v=1;memset(pv,0,sizeof(pv));
		fo(j,0,m-1) mul(v,n-j),dvi(v,j+1);
		ans=ans*get(v)%mo;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}