01背包java实现(入门到精通)
一、什么是01背包
01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里,每件物品的体积为W1,W2至Wn,与之相对应的价值为P1,P2至Pn。01背包是背包问题中最简单的问题。01背包的约束条件是给定几种物品,每种物品有且只有一个,并且有权值和体积两个属性。在01背包问题中,因为每种物品只有一个,对于每个物品只需要考虑选与不选两种情况。如果不选择将其放入背包中,则不需要处理。如果选择将其放入背包中,由于不清楚之前放入的物品占据了多大的空间,需要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所有情况。
二、01背包公式
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。Pi表示第i件物品的价值。决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?我们只需要初始化第一行和第一列的数据,就可以根据状态转换方程进行计算所有的结果!我们只需要初始化第一行和第一列的数据,就可以根据状态转换方程进行计算所有的结果!我们只需要初始化第一行和第一列的数据,就可以根据状态转换方程进行计算所有的结果!
三、图解01背包
有了这张图和上面总结的公式,我们就可以很清晰的理解01背包算法了(倒序)!!!!!!!
- e2单元格:当只有一件物品e,包的容量是2时,装不进去,所以最大值为0
- a8单元格:物品包括a、b、c、d、e,容量为8时,F[i-1,j]=F[b,8]=9,F[i-1,j-Wi]+Pi=F[b,6]+6=9+6=15,两种情况取最大值,因此这里的最大值是15
四、java代码实现01背包(正序计算!!!!!!!)
先看结果图:
代码部分:
package com.niu.test; /** * Created by Administrator on 2017/10/3. */ public class ZeroOnePag { /** * w:代表物品的重量 * p:代表物品的价值 * pag:代表背包的大小 * @param args */ public static void main(String[] args) { int[] w={3,5,2,6,4}; int[] p={4,4,3,5,3}; int pag=12; table(pag,w,p); } static void table(int pag,int[] w,int[] p){ int n=w.length; //初始化f[0][1~pag]=0;f[1-n][o]=0;这样才能根据初始化根据公式推算其他的值! int[][] f=new int[n+1][pag+1]; //01背包算法f[i][j]=MAX{f[i-1][j-w[i]]+p[i](j>=w[i],f[i-1][j])} //算法核心部分:根据公式进行推算!!!!! for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=pag;j++){ if(j>=w[i-1]){ f[i][j]=Math.max(f[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1],f[i-1][j]); }else{ f[i][j]=f[i-1][j]; } } } //输出表 for(int i=0;i<=n;i++){ for(int j=0;j<=pag;j++){ System.out.print(f[i][j]+"\t"); } System.out.print("\n"); } //输出最大值 System.out.println("能装的最大价值为:"+f[n][pag]); //输出装的物品 System.out.print("装的物品编号为:"); int x=pag; for(int i=n;i>0;i--){ if(f[i][x]>f[i-1][x]){ System.out.print(i+"\t"); x-=w[i-1]; } } } }
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