ICPC题目选讲

Traveling in the grid world

题目描述

有一个 \(n\times m\) 的格点图，两点之间走他们的连线，但是这条连线不能恰好覆盖其他整点。还要求相邻两步之间的连线不能斜率相同，求从 \((0,0)\) 走到 \((n,m)\) 的最短距离。

\(1\leq n,m\leq 10^6\)

解法

首先考虑一种特殊情形：\(\gcd(n,m)=1\) ，就说明起点到终点的连线就是答案。

从大体上看，由于走的是直线，所以我们希望折线的次数越少越好（有点感性）。我们考虑只折一次的最优解是什么，可以画图分析：

假设在 \(A,B\) 的路径中的拐点是 \(C\) ，那么如果 \(AC\) 之间出现了一个整点 \(D\) 怎么办呢？我们发现由于三角形两边之和大于第三边，此时选 \(D\) 做为拐点一定最优，那么一直这样调整。如果 \(C\) 是最短路径的一个拐点，那么他一定是满足条件的，所以最短即合法 。\(BC\) 段可以用类似的方法来调整，最后的状态一定两边都没有整点。

那么我们如何说明最优解是只折一次呢？假设多段折线最优，可以取多段折线第一段作为 \(AC\) 段，然后连接 \(BC\) ，总长度一定是比多段折线要小的。如果不合法呢？那调整会得到更小的结果，所以与我们的假设矛盾，反证法证明成功。