[Luogu P1268] 树的重量 (巧妙的构造题)
题面
传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1268
Solution
这是一道极其巧妙的构造题
先做一个约定[i,j]表示从i到j的距离
我们可以先从n=2,也就是最简单的情况来切入这道题
对于n=2,答案显然是[1,2]
接下来考虑n=3
如下图所示
这棵树一定是长成这样的
也就是说三这个节点一定是插在1与2两个节点之间的
我们可以发现,3节点的插入使得树的权值增加了([1,3]+[2,3]-[1,2])/2 (即紫线与蓝线的权值和减去绿线除以二)
我们可以把这个权值贡献的式子推广到一般情况
即x节点插入在[i,j]路径上
其对答案的贡献为([i,x]+[j,x]-[i,j])/2
接下来,我们继续把之前的结论推广到一般情况
四号节点接下来是不是有可能加入在[1,2],[1,3],[2,3]这三条路径中
答案要求整棵树权值和尽可能小,我们只需要在三种情况中选最小值就好
我想你已经找到了一个O(n^3)的算法
就是枚举3~n的插入点,再用两层循环枚举所插入的边
复杂度O(n^3)
事实上,我们已经可以过这道题了.
但我们的复杂度还可以更优
重新再看一下这张图
是不是可以发现我们紫色的那个其实是重复枚举
因为[1,4]+[3,4]-[1,3] 和[2,4]+[3,4]-[2,3] 其实都是一毛一样的!!!
这个结论也可以推广至一般状况中
所以说我们完全可以省去枚举中的一维
只枚举1~n就好
时间复杂度O(n^2)
Code
//Luogu P1268 树的重量
//May,30th,2018
//构造妙题
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long read()
{
long long x=0,f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int N=30+5;
int n,a[N][N];
int main()
{
while(1)
{
memset(a,0,sizeof a);
int ans=0;
n=read();
if(n==0) break;
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
a[i][j]=a[j][i]=read(); ans+=a[1][2];
for(int i=3;i<=n;i++)
{
int t_ans=0x3f3f3f3f;
for(int j=1;j<i;j++)
for(int k=1;k<j;k++)
t_ans=min(t_ans,(a[j][i]+a[k][i]-a[j][k])/2);
ans+=t_ans;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
正解(三方)(C++)
//Luogu P1268 树的重量
//May,30th,2018
//构造妙题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
long long x=0,f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int N=30+5;
int n,a[N][N];
int main()
{
while(1)
{
memset(a,0,sizeof a);
int ans=0;
n=read();
if(n==0) break;
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
a[i][j]=a[j][i]=read(); ans+=a[1][2];
for(int i=3;i<=n;i++)
{
int t_ans=0x3f3f3f3f;
for(int j=1;j<i;j++)
t_ans=min(t_ans,(a[j][i]+a[1][i]-a[j][1])/2);
ans+=t_ans;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
正解(平方)(C++)
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