KMP(超详细复杂度分析)
从 stackoverflow中找到了一个时间复杂度分析很棒的链接 https://www.inf.hs-flensburg.de/lang/algorithmen/pattern/kmpen.htm
判断字符串 str 中是否包含子串 match。
next [i] : match [i-1] 结尾的后缀子串(不包含match [0])和 match [0] 开头的前缀子串,两者的最大匹配长度。
- 因为match[0] 前面没有字符串,规定 next [0] == -1
- 因为 next [i] 对应的子串不包含 match [0],所以next[1] = 0
假设当前 str[i ... j-1] 和 match [0 ... j-i-1]:若 str [j] != match [j-i],
- 若next [j] != -1,下一个比较的位置不是 str [i+1] 和 match [0],而是 str[j] 和 match [next [j-i]]
- 若next [j] = -1,说明 match 的索引指向 match [0],即 j - i = 0,并且在上一次比较中,match [0] != str [j],此时 str 的索引加1即可。
算法的精髓在于搞清楚一个问题:str [i] 和 str [j] 之间是否存在以 str [j-1] 结尾且长度大于 next[j-i] 的子串呢?
答案显然是否定的,这违反了 next 数组的定义。
时间复杂度:O(N),分析:
先看匹配过程:
- 方法的循环体中有3个分支。
- 循环中,si++发生的次数等于 s.length - 1。因此,进入前2个分支的次数是 s.length - 1。
- 其次,mi回退(match滑动)的过程等价于 match 对应 str 往右至少一个位置,显然它往右(match滑动)的最大次数是 s.length - m.length。因此,进入最后1个分支的次数是s.length - m.length。
- 所以循环发生的次数 2 * s.length - m.length + 1,即2N-M+1。
再看next数组生成:
- 方法的循环体中有3个分支。
- 循环中,pos++发生的次数等于 m.length - 2。因此,进其中2个分支的次数是 m.length - 2。
- 其次,cn回退最多发生多少次,受限制于 ++cn 执行了多少次,++cn 和 pos++ 同时发生最多发生的次数是 m.length - 2。
- 所以循环发生的次数 2 * m.length - 4,即2M-4。
最后看总复杂度:
- (2N-M+1) + (2M-4) = (2N+M-3) = O(2N+M)
- 因为 N >= M,O(2N+M) = O(3N) = O(N)
public static int getIndexOf(String s, String m) {
if (s == null || m == null || m.length() < 1 || s.length() < m.length()) {
return -1;
}
char[] ss = s.toCharArray();
char[] ms = m.toCharArray();
int si = 0;
int mi = 0;
int[] next = getNextArray(ms);
while (si < ss.length && mi < ms.length) {
if (ss[si] == ms[mi]) {
//匹配
si++;
mi++;
} else if (next[mi] == -1) {
//当前mi = 0,str[si] != match[0],si++即可
si++;
} else {
//滑动
mi = next[mi];
}
}
return mi == ms.length ? si - mi : -1;
}
怎么计算next数组?
- match [0] == -1,match[1] = 0(原因已经给出)。
- 从左至右依次计算,计算 next [i] 时已知 next [0 ... i-1]
- 我们可以利用 next [i - 1],若 match [i-1] = match [next [i-1]],那么 next [i] = next[i-1] + 1(再长的话与next数组定义违背)
- 若 match [i-1] != match [next [i-1]],则比较 match[i-1] 和 match[next[next[i-1]]],原因如下:
- 假设next[i-1] 对应前后缀分别是A和B,那么 next [next [i-1]] 则代表A的前后缀最大匹配长度。
- 由于A=B,因此A的前缀能对应B的后缀。
- 当前可能性不可能大于 next [next [i-1]] + 1,否则与next数组定义违背。
- 第3步和第4步递归执行,直到 next [k] = 0,则令 next [i] = 0。
public static int[] getNextArray(char[] ms) {
if (ms.length == 1) {
return new int[] { -1 };
}
int[] next = new int[ms.length];
next[0] = -1;
next[1] = 0;
//当前将要计算的位置
int pos = 2;
//当前将要被比较的位置
int cn = 0;
while (pos < next.length) {
if (ms[pos - 1] == ms[cn]) {
// cn是位置,长度=位置+1
next[pos++] = ++cn;
//此刻,cn = next[pos - 1]
} else if (cn > 0) {
cn = next[cn];
} else {
next[pos++] = 0;
//此刻,cn = next[pos-1] = 0
}
}
return next;
}
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