发现 \(K\) 很小,不妨设置一个 \(O(NK)\) 的 \(DP\)。

发现可行的最短路必须满足是 \(d <= dis <= d + K\)。

由逆向思维,则是从某点出发,可以消耗 \(K\) 个单位的冗余长度,最终到达 \(n\)。

如何快速的计算出有走这条边冗余长度呢

首先建反向图跑 \(Dijkstra\),求出 \(dis[i]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 的最短路距离。

假设有一条边 \((u, v)\),边长为 \(w\)

那么我现在从 \(u\) 到 \(n\) 的预算距离是 \(dis[v] + w\),最短距离是 \(dis[u]\)。

那么多走的就是 \(dis[v] + w - dis[u]\)。

设计 \(DP\) 状态表示:

\(f[i][j]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\),以及消耗了 \(j\) 个单位的冗余长度的方案数。

状态转移:

设有边 \((u, v)\),边长为 \(w\)

则有 \(f[u][j] += f[v][j - (dis[v] + w - dis[u])]\)。

边界 \(f[n][0] = 1\),其余为 \(0\)。

答案 \(\sum_{i = 0}^{K} f[1][i]\)。

无穷解的判断:

发现有无穷解,当且仅当:

有一个总权为 \(0\) 的环。

我们可以在 \(DP\) 的时候搞一个 \(vis\) 数组判断,就不需要单独判无穷解了。

时间复杂度

整个过程用记忆化搜索实现,由于一共有 \(NK\) 个状态,每个点被枚举 \(K\) 次,即每条边总体被枚举 \(K\) 次。

所以复杂度 \(O(K(N + M))\)。

\(Tips:\)

  1. 可能走到 \(n\) 再折回去,所以 $u = n $ 时不能直接 \(return\)
  2. 可能存在经过 \(n\) 点的 \(0\) 环,所以到 \(n\) 点时顺便判一下环。
  1. #include <cstdio>
  2. #include <iostream>
  3. #include <cstring>
  4. #include <queue>
  5. #include <vector>
  6. #include <cstdlib>
  7. using namespace std;
  8. typedef pair<int, int> PII;
  9. const int N = 100005, M = 400005, S = 51;
  10. int n, m, K, P, f[N][S], dis[N];
  11. int head[N], rhead[N], numE[2];
  12. bool st[N], vis[N][S], ep = false;
  13. struct E {
  14. int next, v, w;
  15. }e[M], r[M];
  16. //建图
  17. void inline add(E g[], int h[], int u, int v, int w, int p) {
  18. g[++numE[p]] = (E) { h[u], v, w };
  19. h[u] = numE[p];
  20. }
  21. //多组数据初始化
  22. void inline init() {
  23. ep = false;
  24. memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
  25. memset(st, false, sizeof st);
  26. numE[0] = numE[1] = 0;
  27. memset(head, 0, sizeof head);
  28. memset(rhead, 0, sizeof head);
  29. memset(f, -1, sizeof f);
  30. }
  31. // Dijkstra 最短路
  32. priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q;
  33. void inline dijkstra() {
  34. dis[n] = 0; q.push(make_pair(0, n));
  35. while(!q.empty()) {
  36. PII u = q.top(); q.pop();
  37. if(st[u.second]) continue;
  38. st[u.second] = true;
  39. for (int i = rhead[u.second]; i; i = r[i].next) {
  40. int v = r[i].v;
  41. if(dis[u.second] + r[i].w < dis[v]) {
  42. dis[v] = dis[u.second] + r[i].w;
  43. q.push(make_pair(dis[v], v));
  44. }
  45. }
  46. }
  47. }
  48. //记忆化搜索
  49. int dfs(int u, int j) {
  50. if(vis[u][j]) { ep = true; return 0; }
  51. if(f[u][j] != -1) return f[u][j];
  52. vis[u][j] = true;
  53. int &val = f[u][j] = 0;
  54. for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
  55. int v = e[i].v, w = e[i].w;
  56. //消耗的冗余长度折算
  57. int k = j - (dis[v] + w - dis[u]);
  58. if(0 <= k && k <= K) (val += dfs(v, k)) %= P;
  59. if(ep) return 0;
  60. }
  61. vis[u][j] = false;
  62. if(u == n && j == 0) val = 1;
  63. return val;
  64. }
  65. int main() {
  66. int T; scanf("%d", &T);
  67. while(T--) {
  68. init();
  69. scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &K, &P);
  70. for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) {
  71. scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
  72. add(e, head, u, v, w, 0); add(r, rhead, v, u, w, 1);
  73. }
  74. dijkstra();
  75. int ans = 0;
  76. for (int i = 0; i <= K; i++) {
  77. memset(vis, false, sizeof vis);
  78. (ans += dfs(1, i)) %= P;
  79. if(ep) break;
  80. }
  81. if(ep) puts("-1");
  82. else printf("%d\n", ans);
  83. }
  84. }

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