HDU 4055 Number String(DP计数)

题意：

　　给你一个含n个字符的字符串，字符为'D'时表示小于号，字符为“I”时表示大于号，字符为“？”时表示大小于都可以。比如排列 {3, 1, 2, 7, 4, 6, 5} 表示为字符串 DIIDID。任务是计算所有能产生给定字符串的序列数量，每个序列含n+1个数字，分别为1～n+1，即从1开始且不重复。

思路：DP计数。如下步骤

1）将规模n降低，使得对于每个i （1<=i<=n）都可以依靠i-1的结果来计算。最小规模为1个符号，决定两个数字的序列。

2）考虑对于具有i个数字的序列（值从1～i），指定第i个数字为j （1<=j<=i+1），计算所产生的序列数量。那么dp[i][j]表示着具有i个数字的序列，若最后一个数字为j时，所有可能的序列数量。那么dp[i][i+1]就统计了具有i个数字的且满足前i个要求的序列数量。

3）分两种情况：

第一种是第i个为I（小于号，升序）：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j-2] + .. + dp[i-1][1]。

另一种是第i个为D（大于号，降序）： dp[i][j] = dp[i-1][i] + dp[i-1][i-1] + ... + dp[i-1][j]。

　　分析第一个式子，假设前面i个数字所能产生的可能已经知道，那么直接将j加在最后面就行了。比如：序列3>2<4>1  共4个数字和3个符号，假设第4个符号为<，那么现在考虑第5个数字，要算的有dp[4][1] dp[4][2] dp[4][3] dp[4][4] dp[4][5]共5个。dp[4][1]可以想象将1接在序类后，即 3 2 4 1 1，疑问？这不是重复了吗？这样子我们可以将前4个数字中所有大于第5个数字的都加1，就变成4 3 5 2 1，这个序列就合法了吧？是的，对于所有的4个数字的合法序列都这么做。前提是对于第4个数字小于5的所有4数字序列才可以这么考虑。大于等于5的序列再来加1也必定重复。

　　分析第二个式子，同样，假设前面i个数字所能产生的可能已经知道，也是加在后面。比如：序列3>1<2 共3个数字和2个符号，假设第3个符号为>，那么现在考虑第4个数字，2大于1，同时还得考虑如上“加一”情况，所以1和2都要考虑。那么要计算的有dp[3][1] dp[3][2] 共2个，dp[3][3]对于我们所假设的情况是非法的。因为大于等于2的都要加一，所以dp[3][2]可能产生的序列之一为 { 3+1, 1,2+1, 2 } 即 {  4, 1,3 ,2 } 。合法！对于其他情况依此法计算。

下面代码实现时利用了前缀和，所以并不是单纯的逐个加，有点技巧在里面，还没领悟透其中原理。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int mod=;
 const int N=;
 char a[N];
 LL sum[N][N];

 int main()
 {
     //freopen("input.txt", "r", stdin);
     while(cin>>a)
     {
         int len=strlen(a);
         sum[][] = ;        //初始化：没有符号时，假设为只有1个数字，那么就只有序列”1“而已了，结果为1种。

         for(int i=; i<=len; i++)    //对于第i个符号，就有具有i+1个数字的序列。注：i+1个数字的序列就是1～i+1共i+1个，没有大于i+1的数字。
         {
             for(int j=; j<=i+; j++)
             {

                 sum[i][j] = sum[i][j-];    //继承第i+1位为j-1的所有情况。

                 if(a[i-]!='D')            //第i个符号是 '<' 。 若是'?'则两个if都执行
                     sum[i][j] += sum[i-][j-];

                 if(a[i-]!='I')            //第i个符号是 '>'
                     sum[i][j] += sum[i-][i] - sum[i-][j-] + mod ;     //可能出现负的，所以要加mod

                 sum[i][j] %= mod;
             }
         }
         cout<<sum[len][len+]<<endl;
     }
     return ;
 }

AC代码

下面是我的代码，为了好理解不作优化，运算次数应该比上面的少。

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <stdlib.h>
 using namespace std;
 const int N=;
 const int mod=;
 unsigned int sum[N][N];
 char s[N];
 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     while(cin>>s)
     {
         memset(sum, , sizeof(sum));
         int len=strlen(s);
         sum[][]=;

         for(int i=; i<=len; i++)       //对于len个符号，有len+1个数字组成。
         {
             int siz=i+;
             if(s[i-]=='I')
             {
                 for(int j=; j<siz; j++)    //从小往大的方向累加。
                 {
                     sum[i][j]=sum[i][j-];
                     sum[i][j]=((long long)sum[i][j]+ sum[i-][j-])%mod;
                 }
             }
             else if(s[i-]=='D')
             {
                 for(int j=i+; j>; j--)        //从大往小的方向累加。
                 {
                     sum[i][j]=sum[i][j+];
                     sum[i][j]=((long long)sum[i][j]+sum[i-][j])%mod;
                 }
             }
             else        //问号，将上一个位置所有可能相加。
             {
                 long long tmp=;
                 for(int j=; j<=i; j++)
                     tmp=((long long)tmp+sum[i-][j])%mod;
                 for(int j=; j<siz; j++)
                     sum[i][j]=tmp;
             }
         }
         long long ans=;
         for(int i=; i<=len+; i++)     //累计所有可能。
             ans=((long long)ans+sum[len][i])%mod;
         cout<<ans<<endl;
     }
     return ;
 }

int型代码

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <stdlib.h>
 using namespace std;
 const int N=;
 const int mod=;
 long long sum[N][N];
 char s[N];

 int main()
 {

     //freopen("input.txt","r",stdin);
     while(cin>>s)
     {
         memset(sum, , sizeof(sum));
         int len=strlen(s);
         sum[][]=;

         for(int i=; i<=len; i++)
         {
             int siz=i+;
             if(s[i-]=='I')
             {
                 for(int j=; j<siz; j++)
                 {
                     sum[i][j]=sum[i][j-];
                     sum[i][j]+=sum[i-][j-]%mod;
                 }
             }
             else if(s[i-]=='D')
             {
                 for(int j=i+; j>; j--)
                 {
                     sum[i][j]=sum[i][j+];
                     sum[i][j]+=sum[i-][j]%mod;
                 }
             }
             else
             {
                 long long tmp=;
                 for(int j=; j<=i; j++)
                     tmp+=sum[i-][j]%mod;
                 for(int j=; j<siz; j++)
                     sum[i][j]=tmp;
             }
         }
         long long ans=;
         for(int i=; i<=len+; i++)
             ans+=sum[len][i]%mod;
         cout<<ans%mod<<endl;
     }
     return ;
 }

longlong型代码（好理解）