Levko and Array

题意：

有一长度为n的正整数序列，你可以选择K个数字任意改变它，使得$max \{ a(i+1) - a(i) \} $ 最小，求最小值。

解法：

1.$O(n^2log(MAX_A) )$，考虑二分出$d = max \{ a(i+1) - a(i) \} $，这样考虑dp

$f(i,j)$表示前i个数字，末位的数字为j的时候最少修改了多少数字

$f(i,j) = min \{ f(i-1,k) \} (j-d ≤ k ≤ j+d,j = a(i))$

$f(i,j) = min \{ f(i-1,k) \} (j-d ≤ k ≤ j+d,j ≠ a(i))$

注意到有效的j只有$a(i),a(i)-d,a(i)+d$，从而对第二维离散化，同时用单调队列维护区段min即可

（维护方法，对于 前面出现的 比后面的数字小 的数一定不会出现在答案中，这样只要维护一个单调增的双端队列即可）

此方法常数过大，TLE

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <ctime>

 #define LL long long
 #define N 2010
 #define INF 0x3f3f3f3f

 using namespace std;

 int n,m,K,minh,maxh,tots;
 int a[N],a0[N*];
 int f[N][N*],q[N*];
 double tott;

 int Abs(int x)
 {
     if(x<) return -x;
     return x;
 }

 bool check(int d)
 {
     a0[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         a0[++a0[]]=a[i];
         if(a[i]-(LL)d>=(LL)minh) a0[++a0[]]=a[i]-d;
         if(a[i]+(LL)d<=(LL)maxh) a0[++a0[]]=a[i]+d;
     }
     sort(a0+,a0+a0[]+);
     m=;
     for(int i=;i<=a0[];i++) if(a0[i]!=a0[i-]) a0[++m]=a0[i];
     for(int i=;i<=m;i++) f[][i]=;
     int t1=lower_bound(a0+,a0+m+,a[])-a0;
     f[][t1]=;
     int st=,ed=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         st=, ed=;
         int tmp=,minv=K+;
         for(int j=;j<=m;j++)
         {
             while(tmp<=m && a0[tmp]<=a0[j]+d)
             {
                 while(st<=ed && f[i-][q[ed]]>=f[i-][tmp]) ed--;
                 q[++ed]=tmp++;
             }
             while(st<ed && a0[q[st]]<a0[j]-d) st++;
             int k=q[st];
             if(a0[j]==a[i]) f[i][j]=f[i-][k];
             else f[i][j]=f[i-][k]+;
             minv = min(minv, f[i][j]);
             if(f[i][j] + n-i <= K) return ;
         }
         if(minv > K) return ;
     }
     return ;
 }

 int main()
 {
     freopen("test.txt","r",stdin);
     while(~scanf("%d%d",&n,&K))
     {
         unsigned int l=,r=;
         a0[]=;
         minh=INF;
         maxh=-INF;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%d",&a[i]);
             minh=min(minh,a[i]);
             maxh=max(maxh,a[i]);
             if(i>) r = max(r,(unsigned int)Abs(a[i]-a[i-]));
         }
         while(r-l>)
         {
             unsigned int mid=(l+r)>>;
             if(check(mid)) r=mid;
             else l=mid;
         }
         for(unsigned i=l;i<=r;i++)
             if(check(i))
             {
             //    cout << clock()/1000.0 << endl;
                 cout << i << endl;
                 break;
             }
     }
     return ;
 }

2.注意到方法一中第二维实际只有 j=a(i) 和其他的j ，两种j。

从而设$f(i)$表示前i个数字，数字i不改变 最少修改了多少数字。

这样有

$f(i) = min \{  f(j) + j-i-1 \}, ( \frac{|a(i)-a(j)|}{i-j} ≤ d )$

（i到j之间的数字全都改变）

小常数飘过

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <ctime>

 #define LL long long
 #define N 2010
 #define INF 0x3f3f3f3f

 using namespace std;

 int n,m,K,a[N];
 int f[N];

 LL Abs(LL x)
 {
     if(x<) return -x;
     return x;
 }

 bool check(int d)
 {
     f[]=;
     if(n-<=K) return ;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         f[i]=i-;
         for(int j=;j<i;j++)
             if(Abs(a[i]-(LL)a[j]) <= d*(LL)(i-j))
                 f[i] = min(f[i], f[j]+i-j-);
         if(f[i]+n-i<=K) return ;
     }
     return ;
 }

 int main()
 {
 //    freopen("test.txt","r",stdin);
     while(~scanf("%d%d",&n,&K))
     {
         LL l=,r=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%d",&a[i]);
             if(i>) r = max(r,(LL)Abs(a[i]-a[i-]));
         }
         while(r-l>)
         {
             LL mid=(l+r)>>;
             if(check(mid)) r=mid;
             else l=mid;
         }
         for(unsigned i=l;i<=r;i++)
             if(check(i))
             {
                 cout << i << endl;
                 break;
             }
     }
     return ;
 }