\[ \text{给定正整数N,求} LCM \lbrace C \left(N , 0 \right),C\left(N , 1 \right),...,C\left(N , N \right) \rbrace \% mod \qquad 1\leq N \leq 10^6
\]

  • 题解

    • 根据规律推出公式,另外关于这个公式的证明

      \[ LCM \lbrace C \left(N , 0 \right),C\left(N , 1 \right),...,C\left(N , N \right) \rbrace \quad = \quad \frac{LCM(1,2,3...,N+1)}{N+1}
      \]

    • 由于数据规模较大,除法取模可以化为求乘以N+1在模mod意义下的逆元再取模,问题就转化为了如何求连续自然数的LCM

    • 由唯一分解定理可知LCM算法:

    \[ X_1 = P_1^{e_1}*P_2^{e_2}*...*P_k^{e_k} \quad \\
    X_2 = P_1^{e_1'}*P_2^{e_2'}*...*P_k^{e_k'} \quad \\
    \text{$k$ $\to$ ∞ $\quad$ $P_i$ is a prime number} \\
    \text{}\\
    LCM(X_1,X2) = P_1^{max(e_1,e_1')} * P_2^{max(e_2,e_2')} *...* P_k^{max(e_k,e_k')}
    \]

    • 不妨设LCM[i]表示从1到i的lcm,则LCM[i+1]与LCM[i]的关系为

\[LCM \left[ i\right] =
\begin{cases}
LCM[i-1]*i\%mod, & \text{if $i$ is a prime number, because a new prime come in} \\[2ex]
LCM[i-1]*x\%mod, & \text{if $n$ is a POWER of prime number x, because $P_x$ get a high power }\\[2ex]
LCM[i-1], & \text{oherwise}
\end{cases}
\]

  • AC代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
const ll mod = 1e9+7;
ll LCM[maxn];
bool isPrime[maxn];//isPrime[i]表示i是不是质数
int prime[maxn];//prime[i]表示i是哪个质数的k次幂 如果不是某个质数的k次幂就置0
void init(){
for(int i=1; i<maxn; i++) isPrime[i] = 1, prime[i] = 0;
isPrime[1] = 0;
//素数普通筛 只需要筛到根号N即可
for(int i=2; i*i<maxn; i++){
if(isPrime[i]){
///cout<<i<<" ";
for(int j=i*i; j<maxn; j *= i){
prime[j] = i;//j 是 质数i的幂次
}
//筛素数
for(int j=i+i; j<maxn; j += i){
isPrime[j] = 0;
}
}
}
}
//LCM[i]表示(1 , 2 , 3 ......, i)的lcm
void getLCM(){
LCM[1] = 1;
for(int i=2; i<maxn; i++){
//如果是一个新质数
if(isPrime[i]) LCM[i] = LCM[i-1] * i % mod;
//如果不是质数 验证是不是一个质数的幂次
//如果是 那么说明遇到了一个质因子更高的幂次 那么要多乘一个这个质因子
else if(prime[i]) LCM[i] = LCM[i-1] * prime[i] % mod;
else LCM[i] = LCM[i-1];
} }
//扩展欧几里得求逆元
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
//返回a在模n意义下的逆元
ll inverse(ll a,ll n){
ll d,x,y;
extgcd(a,n,d,x,y);
return d==1?(x+n)%n:-1;
} int main(){
int t;
ll n;
init();
getLCM();
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
ll ans = LCM[n+1] * inverse(n+1 , mod) % mod;
cout<<ans<<endl; }
return 0;
}

CRB and Candies LCM 性质的更多相关文章

  1. HDU 5407 CRB and Candies(LCM +最大素因子求逆元)

    [题目链接]pid=5407">click here~~ [题目大意]求LCM(Cn0,Cn1,Cn2....Cnn)%MOD 的值 [思路]来图更直观: 这个究竟是怎样推出的.说实话 ...

  2. HDU5407 CRB and Candies 【LCM递推】

    HDU5407 CRB and Candies 题意: 计算\(LCM(C(n,0),C(n,1),C(n,2),\cdots,C(n,n-1),C(n,n))\) \(n\le 10^6\) 题解: ...

  3. Hdu 5407 CRB and Candies (找规律)

    题目链接: Hdu 5407 CRB and Candies 题目描述: 给出一个数n,求lcm(C(n,0),C[n,1],C[n-2]......C[n][n-2],C[n][n-1],C[n][ ...

  4. HDU 5407——CRB and Candies——————【逆元+是素数次方的数+公式】

    CRB and Candies Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)T ...

  5. 2015 Multi-University Training Contest 10 hdu 5407 CRB and Candies

    CRB and Candies Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)T ...

  6. 【HDOJ 5407】 CRB and Candies (大犇推导

    pid=5407">[HDOJ 5407] CRB and Candies 赛后看这题题解仅仅有满眼的迷茫------ g(N) = LCM(C(N,0),C(N,1),...,C(N ...

  7. LCM性质 + 组合数 - HDU 5407 CRB and Candies

    CRB and Candies Problem's Link Mean: 给定一个数n,求LCM(C(n,0),C(n,1),C(n,2)...C(n,n))的值,(n<=1e6). analy ...

  8. CRB and Candies(组合数学+求逆元+lcm)

    题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5407 题目: Problem Description CRB has N different cand ...

  9. hdu 5407【LCM性质】+【逆元】(结论题)

    <题目链接> <转载于 >>> > Problem Description CRB has N different candies. He is going ...

随机推荐

  1. Flask With

  2. loj2049 「HNOI2016」网络

    好像复杂度来说不是正解--不加谜之优化(下叙)能被loj上的加强数据卡 #include <algorithm> #include <iostream> #include &l ...

  3. ogre3D学习基础5 -- 阴影与动画

    五.阴影 阴影是渲染一个真实场景的重要组成部分,它可以给场景中的物体提供更加真实的感觉,同时还可以帮助用户更好的了解对象间的空间关系. 启用阴影: 缺省情况下,阴影是关闭的,开启方式如下: 1.建立场 ...

  4. python IDLE简介及使用技巧

    前言:本人环境windows 7 64位,python2.7 IDLE简介: 是python 的可视化GUI编辑器 可以逐行输入命令 可方便的进行复制.粘贴等操作 常用命令行命令: import mo ...

  5. [python][django学习篇][15]博客侧栏--自定义模板标签

    我们的博客侧边栏有四项内容:最新文章.归档.分类和标签云. 这些内容相对比较固定,且在各个页面都会显示,如果像文章列表或者文章详情一样,从视图函数中获取然后传递给模板,则每个页面对应的视图函数里都要写 ...

  6. java主要集合类的数据结构学习

    http://www.cnblogs.com/beanmoon/archive/2012/11/22/2782442.html 在程序中,集合类每天都在使用,以致于某些代码充斥着List和Map,一直 ...

  7. POJ 3104:Drying(二分)

    题目大意:你有一台机器可以烘干衣物,现在有n个衣物需要烘干,每件衣服都有一个值表示含水量,烘干机一秒可以烘干k滴水,一件衣服不在烘干机上时会每秒自动蒸发一滴水,求最少用多少时间烘干所有衣服. 分析: ...

  8. windows系统——常用命令

    1.cleanmgr: 打开磁盘清理工具2.compmgmt.msc: 计算机管理3.conf: 启动系统配置实用程序4.charmap: 启动字符映射表5.calc: 启动计算器6.chkdsk.e ...

  9. ionic2 使用slides制作滑动效果的类型选择栏

    类似的效果如下图: 1. 生成一个component ionic g component MySlide 2. 在my-slide.html中添加代码: <ion-slides class=&q ...

  10. set和dict

    dict属于mapping类型 from collections.abc import Mapping,MutableMapping from collections.abc import __all ...