计算机图形学之扫描转换直线-DDA,Bresenham,中点画线算法

1.DDA算法

DDA（Digital Differential Analyer）：数字微分法

DDA算法思想：增量思想

公式推导：

效率：采用了浮点加法和浮点显示是需要取整

代码：

void lineDDA(int x0, int y0, int x1, int y1, int color){
    int x;
    float dy, dx, y, m;
    dx = x1 - x0;
    dy = y1 - y0;
    m = dy / dx;
    y = y0;
    for (x = x0; x <= x1; x++){
        putpixel(x, (int)(y + 0.5), color);
        y += m;
    }
}

2.中点画线法

采用了直线的一般式：Ax+By+C=0

当k在(0,1]中时，每次在x方向上加1，y方向上加1或不变：

当Q在M上方时，取Pu点；

当Q在M下方时，取Pd点。

接下来：

然后中点画线的计算：

di需要两个乘法和四个加法算，比DDA差的多，但是di可以用增量法求

当d<0时

当d>=0时

d的初始值d0:

中点算法计算为：

如果将d换成2d，就只有整数运算，优于DDA算法。

最终公式：

代码：

void lineMidPoint(int x0, int y0, int x1, int y1, int color){
    int x = x0, y = y0;
    int a = y0 - y1, b = x1 - x0;
    int cx = (b >= 0 ? 1 : (b = -b, -1));
    int cy = (a <= 0 ? 1 : (a = -a, -1));
 
    putpixel(x, y, color);
 
    int d, d1, d2;
    if (-a <= b)     // 斜率绝对值 <= 1
    {
        d = 2 * a + b;
        d1 = 2 * a;
        d2 = 2 * (a + b);
        while (x != x1)
        {
            if (d < 0)
                y += cy, d += d2;
            else
                d += d1;
            x += cx;
            putpixel(x, y, color);
        }
    }
    else                // 斜率绝对值 > 1
    {
        d = 2 * b + a;
        d1 = 2 * b;
        d2 = 2 * (a + b);
        while (y != y1)
        {
            if (d < 0)
                d += d1;
            else
                x += cx, d += d2;
            y += cy;
            putpixel(x, y, color);
        }
    }
}

3.Bresenham算法

DDA使画直线每步只有一个加法。

中点画线法使画直线每步只有一个整数加法。

Bresenham算法提供一个更一般的算法，使适用范围增大。

该算法的思想是通过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线，按照直线起点到终点的顺序，计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素。

假设每次x+1，y的递增（减）量为0或1，它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离，这个距离的最大误差为0.5。

误差项d的初值d 0＝0，d＝d＋k，一旦d≥1，就把它减去1，保证d的相对性,且在0、1之间。

然后有下面计算公式：

怎么提升到整数算法？

答案是让e=d-0.5

e0=-0.5

每循环一次：e = e+k
if (e>0) then e = e-1

e+k这还是一个浮点加法

因为k=△y/△x

因为用误差项的符号，可以用e*2*△x来替换 e：

e0=-△x

每循环一次：e = e+2△y
if (e>0) then e = e-2△x

这已经变成为整数加法

算法步骤：

算法步骤为：
1.输入直线的两端点P 0(x 0,y 0)和P 1(x 1,y 1)。
2.计算初始值△x、△y、 e=-△x、x=x 0、y=y 0。
3.绘制点(x,y)。
4.e更新为 e+2△y，判断e的符号。若e>0，则(x,y)更新为
(x+1,y+1)，同时将e更新为 e-2△x；否则(x,y)更新为
(x+1,y)。
5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。

代码：

void lineBresenham1(int x0, int y0, int x1, int y1, long color)
{
    int dx = abs(x1 - x0);
    int dy = abs(y1 - y0);
    int x = x0;
    int y = y0;
    int stepX = 1;
    int stepY = 1;
    if (x0 > x1)  //从右向左画
        stepX = -1;
    if (y0 > y1)
        stepY = -1;
 
    if (dx > dy)  //沿着最长的那个轴前进
    {
        int e = dy * 2 - dx;
        for (int i = 0; i <= dx; i++)
        {
            putpixel(x, y, color);
            x += stepX;
            e += dy;
            if (e >= 0)
            {
                y += stepY;
                e -= dx;
            }
        }
    }
    else
    {
        int e = 2 * dx - dy;
        for (int i = 0; i <= dy; i++)
        {
            putpixel(x, y, color);
            y += stepY;
            e += dx;
            if (e >= 0)
            {
                x += stepX;
                e -= dy;
            }
        }
    }
}