今天重拾算法复习。

今天学习了两个类型的算法——并查集与最小生成树(MST)

简单记录一下并查集的大致内容。

一、并查集的内容大致作用为查找当前图中的点有几个集合。


该算法起到查询分组的情况。通过给定的条件使用数组记录该点对应的父节点,倘若两个点有相同的“祖先”,那他们肯定是属于同一个组的。

下面看几道例题:

某省调查城镇交通状况,得到现有城镇道路统计表,表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通(但不一定有直接的道路相连,只要互相间接通过道路可达即可)。问最少还需要建设多少条道路?

输入描述:

  1.     测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数,分别是城镇数目N ( < 1000 )和道路数目M;随后的M行对应M条道路,每行给出一对正整数,分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号。为简单起见,城镇从1N编号。
  2.     注意:两个城市之间可以有多条道路相通,也就是说
  3.     3 3
  4.     1 2
  5.     1 2
  6.     2 1
  7.     这种输入也是合法的
  8.     N0时,输入结束,该用例不被处理。

输出描述:

  1.     对每个测试用例,在1行里输出最少还需要建设的道路数目。
示例1

输入

复制

  1. 4 2
  2. 1 3
  3. 4 3
  4. 3 3
  5. 1 2
  6. 1 3
  7. 2 3
  8. 5 2
  9. 1 2
  10. 3 5
  11. 999 0
  12. 0

输出

复制

  1. 1
  2. 0
  3. 2
  4. 998
  5.  
  6. 以及
  7.  
给定一个无向图和其中的所有边,判断这个图是否所有顶点都是连通的。

输入描述:

  1.     每组数据的第一行是两个整数 n m0<=n<=1000)。n 表示图的顶点数目,m 表示图中边的数目。随后有 m 行数据,每行有两个值 x y0<x, y <=n),表示顶点 x y 相连,顶点的编号从 1 开始计算。输入不保证这些边是否重复。

输出描述:

  1.     对于每组输入数据,如果所有顶点都是连通的,输出"YES",否则输出"NO"
示例1

输入

复制

  1. 4 3
  2. 1 2
  3. 2 3
  4. 3 2
  5. 3 2
  6. 1 2
  7. 2 3

输出

  1. NO
  2. YES
 
这些题目属于查询结果的类型,相对基础一些。而下面我们介绍下使用克鲁斯卡尔来解最小生成树的问题:
 
这些题目的思想是在并查集的基础上进行延伸,一般来说是查询当前图中的最优解,此时我们也要使用组的概念,当两个节点属于同一个组的时候,那么这两个点就不可以连通。
 
例如:
 
某省调查乡村交通状况,得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通(但不一定有直接的公路相连,只要能间接通过公路可达即可),并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

输入描述:

  1.     测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 );随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离,每行给出一对正整数,分别是两个村庄的编号,以及此两村庄间的距离。为简单起见,村庄从1N编号。
  2.     N0时,输入结束,该用例不被处理。

输出描述:

  1.     对每个测试用例,在1行里输出最小的公路总长度。
示例1

输入

复制

  1. 3
  2. 1 2 1
  3. 1 3 2
  4. 2 3 4
  5. 4
  6. 1 2 1
  7. 1 3 4
  8. 1 4 1
  9. 2 3 3
  10. 2 4 2
  11. 3 4 5
  12. 0

输出

复制

  1. 3
  2. 5
  1. //
  2. // Created by 陈平 on 2018/6/5.
  3. //
  4.  
  5. #include "iostream"
  6. #include "stdio.h"
  7. #include "algorithm"
  8. using namespace std;
  9.  
  10. int tree[];
  11. struct Edge{
  12. int a;
  13. int b;
  14. int value;
  15. }edges[];
  16.  
  17. int findRoot(int a){
  18. if(tree[a]==-) return a;
  19. else{
  20. int tmp = findRoot(tree[a]);
  21. tree[a] = tmp;
  22. return tmp;
  23. }
  24. }
  25. bool cmp(Edge a,Edge b){
  26. return a.value<b.value;
  27. }
  28.  
  29. int main(){
  30. int n;
  31. while (scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=){
  32. for (int i = ; i <=n*(n-)/ ; ++i) {
  33. cin>>edges[i].a>>edges[i].b>>edges[i].value;
  34. }
  35. sort(edges+,edges+n*(n-)/+,cmp);
  36. for (int j = ; j <=n ; ++j) {
  37. tree[j]=-;
  38. }
  39. int ans=;
  40. for (int k = ; k < n*(n-)/; ++k) {
  41. int a,b;
  42. a = findRoot(edges[k].a);
  43. b = findRoot(edges[k].b);
  44. if(a!=b){
  45. tree[a]=b;
  46. ans+=edges[k].value;
  47. }
  48. }
  49. cout<<ans<<endl;
  50. }
  51. }

面对最小生成树的问题,我们的思路是将输入的路径进行从小到大的排序,并以此取合适的路径。

题目描述

    省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通(但不一定有直接的公路相连,只要能间接通过公路可达即可)。现得到城镇道路统计表,表中列出了任意两城镇间修建道路的费用,以及该道路是否已经修通的状态。现请你编写程序,计算出全省畅通需要的最低成本。

输入描述:

  1.     测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( 1< N < 100 );随后的 N(N-1)/2 行对应村庄间道路的成本及修建状态,每行给4个正整数,分别是两个村庄的编号(从1编号到N),此两村庄间道路的成本,以及修建状态:1表示已建,0表示未建。
  2.  
  3.     N0时输入结束。

输出描述:

  1.     每个测试用例的输出占一行,输出全省畅通需要的最低成本。
示例1

输入

复制

  1. 3
  2. 1 2 1 0
  3. 1 3 2 0
  4. 2 3 4 0
  5. 3
  6. 1 2 1 0
  7. 1 3 2 0
  8. 2 3 4 1
  9. 3
  10. 1 2 1 0
  11. 1 3 2 1
  12. 2 3 4 1
  13. 0

输出

复制

  1. 3
  2. 1
  3. 0
 
  1. //
  2. // Created by 陈平 on 2018/6/6.
  3. //
  4.  
  5. #include "stdio.h"
  6. #include "iostream"
  7. #include "algorithm"
  8. using namespace std;
  9.  
  10. int tree[];
  11. struct Edge{
  12. int a;
  13. int b;
  14. int cost;
  15. int flag;
  16. }edges[];
  17.  
  18. int findRoot( int a){
  19. if(tree[a]==-) return a;
  20. else{
  21. int tmp = findRoot(tree[a]);
  22. tree[a] = tmp;
  23. return tmp;
  24. }
  25. }
  26.  
  27. bool cmp(Edge a,Edge b){
  28. return a.cost<b.cost;
  29. }
  30.  
  31. int main(){
  32. int n;
  33. while (scanf("%d",&n)!=EOF && n!=){
  34. for (int i = ; i <=n ; ++i) {
  35. tree[i]=-;
  36. }
  37. int ans=;
  38. for (int j = ; j <=n*(n-)/ ; ++j) {
  39. cin>>edges[j].a>>edges[j].b>>edges[j].cost>>edges[j].flag;
  40. if(edges[j].flag==){
  41.  
  42. //重点部分
  43. int a,b;
  44. a = findRoot(edges[j].a);
  45. b = findRoot(edges[j].b);
  46. if(a!=b) tree[a] = b;
  47. }
  48. }
  49. sort(edges+,edges++n*(n-)/,cmp);
  50. for (int k = ; k <=n*(n-)/ ; ++k) {
  51. int a,b;
  52. a = findRoot(edges[k].a);
  53. b = findRoot(edges[k].b);
  54. if(a!=b){
  55. tree[a] = b;
  56. ans+=edges[k].cost;
  57. }
  58. }
  59. cout<<ans<<endl;
  60.  
  61. }
  62. }
 
 
  1.  

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