8.3-8.4NOIP模拟题总结

一：成绩

Day1 score=100+100+20

Day2 score=100+30+0

这成绩还是不行啊，仍需继续加油（抱怨一句暴力分有点少#滑稽）

二：题目分析

Day1

T1祖孙询问：

已知一棵 n 个节点的有根树。有 m 个询问。每个询问给出了一对节点的编号 x 和 y,询问 x
与 y 的祖孙关系。

分析：

这道题用一个lca随便就可以水过啦...（我一开始把祖先理解成了父亲orz）

T2比赛：

由 A 中的一个选手与 B 中的一个选手对抗。同一个人不会参加多场比赛,每个人的对手都是随机而等概率的。例如 A 队有 A1 和 A2 两个人,B 队有 B1 和 B2 两个人,那么(A1 vs B1,A2 vsB2)和(A1 vs B2,A2 vs B1)的概率都是均等的 50%。

每个选手都有一个非负的实力值。如果实力值为 X 和 Y 的选手对抗,那么实力值较强的选手所在的队伍将会获得(X-Y)^2 的得分。

求 A 的得分减 B 的得分的期望值。

分析：

这道题推了我半个小时...

我们乍一看就会觉得这是一道数学题，那我们来分析

我们固定好B队的n个人，来对A队进行排列进行一一对应，那么方案总数就是A的全排列(n!)

对于一个Ak，他对应Bj的次数是(n-1)!，怎么理解呢，就是对除了Ak的其他A进行全排列

那么(A[k]-B[j])^2对答案的总贡献=((A[k]-B[j])^2)*(n-1)!/n!=((A[k]-B[j])^2)/n

我们记录(A[k]-B[j])^2为(k,j)，

对于一个Ai那么从小到大排好B，用二分查找可以算出小于等于Ai的B有k个，大于Ai的有p个，

那么对答案的贡献=(Ai,B1)+...(Ai,Bk)- ( (Ai,Bk+1) +...+(Ai,Bn) )

=Ai²*(k-p)+(b1²+...+bk²)-(bk+1²+...+bn²)+2a( (bk+1+...+n) - (b1+...+bk) )

那么我们对bi²和bi分别记一个前缀和即可

总复杂度O(nlogn)

T3数字

一个数字被称为好数字当他满足下列条件:

1. 它有2*n个数位,n是正整数(允许有前导0)。

2. 构成它的每个数字都在给定的数字集合S中。

3. 它前n位之和与后n位之和相等或者它奇数位之和与偶数位之和相等

例如对于n=2,S={1,2},合法的好数字有1111,1122,1212,1221,2112,2121,2211,2222这样8种。

已知n,求合法的好数字的个数mod 999983。

n≤1000,|S|≤10

分析：

考试的时候没有搞出来...想到了dp的部分却没想到组合数学的部分

我们记dp[i][j]为处理到第i个，用的数字和为j，那么dp[i][j]=∑dp[i-1][j-k]

我们看到题目要求是"命题A"或“命题B”，那就等于"命题A"+"命题B"-"命题A"且"命题B"

命题A和命题B显然就是dp[n][j]*dp[n][j](j∈[n*minnum,n*maxnum])

对于"命题A"且"命题B"可以得到的条件是"前n个数中的奇数项和"=="后n个数中的奇数项和"，且"前n个数中的偶数项和"=="后n个数中的偶数项和"

那么就是dp[(n+1)/2][j]²*dp[n/2][j]²

所以答案就出来了

Day2

T1工资

聪哥在暑假参加了打零工的活动,这个活动分为 n 个工作日,每个工作日的工资为 Vi。有 m 个结算工钱的时间,聪哥可以自由安排这些时间,也就是说什么时候拿钱,老板说的不算,聪哥才有发言权!(因为聪哥是土豪,他是老板的老板)聪哥不喜欢身上一次性有太多的钱,于是他想安排一下拿钱的时间,使他一次性拿的钱中最大的最小。(最后一天一定要领钱)

分析

二分答案的水题，就不说啦

T2藏妹子之处

今天 CZY 又找到了三个妹子,有着收藏爱好的他想要找三个地方将妹子们藏起来,将一片空地抽象成一个 R 行 C 列的表格,CZY 要选出 3 个单元格。但要满足如下的两个条件:

(1)任意两个单元格都不在同一行。

(2)任意两个单元格都不在同一列。

选取格子存在一个花费,而这个花费是三个格子两两之间曼哈顿 距 离 的 和 ( 如 (x1,y1) 和 (x,y2) 的 曼 哈 顿 距 离 为 |x1-x2|+|y1-y2|)。狗狗想知道的是,花费在 minT 到 maxT 之间的方案数有多少。

答案模 1000000007。所谓的两种不同方案是指:只要它选中的单元格有一个不同,就认为是不同的方案。

分析

我一开始以为是DP。。。

对于20%的数据，我们先在三列里面上下枚举每个点的位置，预先处理好每个竖直长度的个数。

然后再枚举三列，通过之前存下的竖直长度加上枚举的横向长度计算出周长，统计答案。其实只要枚举左右列行，乘以中间的列数即可。

复杂度O(n^3)

对于100%的数据，我们之前是考虑三个点的位置，当然只能三次方，那我们如果枚举矩形的长度和宽度呢？

我们枚举一个矩形（i×j），要保证这个矩形，她最上/下的两行，最左/右的两行必须选，那我们再在中间选一行和一列，选法有(i-2)×(j-2)种

那我们选的三行三列相交出一个3×3的九宫格，填进去的方法就有6种，而这个矩形的位置有(R-i+1)*×(C-j+1)种方法

那i,j对答案的贡献就是(i-2)×(j-2)×(R-i+1)×(C-j+1)×6

复杂度O(n^2)