原题链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2613

在这里虽然是讲洛谷的题解,但用到的数论知识,归并到数论里也不为过!

进入正题:

首先看到题面:给出一个有理数c=a/b,求c mod 19260817的值。

看一下数据范围

我滴天!!!又要写高精???GG无疑!!!

咦,既然要取余,还做乘法运算,那只要写个快读在读入时取膜不就好啦,这样就爆不了long long 了。

有理数求余???搞笑呢,不是只有整数求余嘛?

我们知道有理数包含整数和分数,那么分数求余我们都知道是没有什么意义的。

那肿么办呢?——转化!!!

前面说过这是一道数论题,那么解此题一定要用到数论知识!!!

在我发现的数论知识里,可以用以下两个知识来解此题:

1.费马小定理

如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a^(p-1)≡1(mod p)。

此题已经明确给出mod数19260817,显然它是一个质数,那么我们就可以用费马小定理转化一下,如下:

因为a^(p-1)≡1(mod p)

所以a^(p-2)≡a^(-1) (mod p)    (A)

所以c=a/b=a*b^(-1)≡a*b^(p-2) (mod p)

证毕!

所以我们就可以将在膜p意义下的a/b转化成a*b^(p-2)的形式,所以我们只要求出b^(p-2)就大功告成啦,具体做法用快速幂。

2.扩展欧几里德

上面已经证过求在膜p意义下的a/b就是求a*b^(-1),b^(-1)就是b的逆元

下面给出求b的逆元的一种方法:

若存在一个数x,满足bx≡1 (mod p),那么x就是b的逆元

可将bx≡1 (mod p)进一步转化:

bx-1≡0 (mod p)

bx-1=-yp    (注:这里说一下为什么是-y,其实这里是不是正负无所谓,写成负的更便于理解)

bx+py=1

化简到这里我们就知道要用扩展欧几里德做了,求出了b的逆元x后再乘a取膜就是最后答案啦,下面看代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long mod=;
inline long long read() //快读,边读边取余
{
long long t=;
char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'') ch=getchar();
while(ch>=''&&ch<='')
{
t=(t*+(ch-''))%mod;
ch=getchar();
}
return t;
}
int exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) //扩展欧几里德算法,求b的逆元
{
if(b==)
{
x=;y=;
return a;
}
long long r=exgcd(b,a%b,x,y);
long long q=x;
x=y;
y=q-a/b*y;
return r;
}
int main()
{
long long a,b,x,y;
a=read();
b=read();
if(b==) //一步特判,因为b是分母不能是0,如果b==0则无解
{
cout<<"Angry!";
return ;
}
exgcd(b,mod,x,y);
x=(x%mod+mod)%mod; //这步操作是确保x是b的逆元中最小的正整数
printf("%lld",(a%mod*x%mod)%mod); //记得多膜几次哦
return ;
}

其实作为一个提高+/省选-是不是有点夸大了?

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