[CSP初赛] 组合数学的三个技巧以及从另一方面思考组合类问题

也不知道老师讲不讲
话说好久没有水博客了，看了一点\(python\)然后就去搞文化课了
正好网课讲到组合数学，然后觉得还蛮难的（其实是我变菜了），就想到了以前的\(csp\)的组合数学基础
果然被我找到了，插板法，插空法和捆绑法
就从数学作业里找例题吧

最后还有关于四个人选三个项目的情况数与三个人选四个项目的情况数这两种问题如何用进制解决
感觉把博客写成参考书了呢

前置芝士

阶乘

\(n!=1*2*3*...*(n-1)*n\)

组合数

组合数的定义：从\(n\)个不同元素中任取\(m\)个的所有组合的个数为\(C_{n}^{m}\)
\(C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)

排列数

排列数的定义：从\(n\)个元素中任取\(m\)个元素的所有排列的个数为\(A_{n}^{m}\)
\(A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}\)

可以发现组合数只强调选出的组合的数量，而排列还要求组合里的元素有序（小声\(bb\)和后文无关哈）

插板法

适用范围:\(n\)个相同物品分为不同的\(m\)组

必须是相同物品！！！

问题

现在有四只一模一样佳爱琉，有十一个一模一样神探要解开佳爱琉的死亡谜题，神探之间可以合作，但是每只佳爱琉的谜题必须有至少一个神探解谜，求有多少种搭配的方法呢

插板法的名字起的很形象啊，我们要做的就是插板求解这一问题
那怎么插板呢
首先我们将十一个神探小朋友一字摆开

因为他们是一模一样的，而佳爱琉也都是一模一样的，所以我们不妨认为，每个佳爱琉的神探，都是左右相邻的
比如下面这样就是一种分组方案

怎么样，是不是很像在每组神探之间插入了一块板子
那我们就可以把问题转化成插三块板子有多少种方案
这三个板子有十个位置可插，不妨把这十个位置叫成\(1,2,3...\)
那我们就可以进一步把问题转化成，在这十个数字中任选三个
这个问题很好求解，答案就是\(C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120\)

基本模型

这类题目可以抽象出如下模型

把\(n\)个相同物品分成不同的\(m\)组的方案数为\(C_{n-1}^{m-1}\)

插板法的变形

变形一与变形二

为什么放到一起？？？
当然是因为太像了啊

有四只小狗，叫豆豆一号，豆豆二号……有十一个一模一样的屁桃（一种桃子），现在要把屁桃分给豆豆们，有的豆豆可能分不到，请问有多少种分配方案

这个好像和模型不太一样，怎么办
那当然就是把它变得和模型一样喽
我们发现最多会有三只豆豆没分到屁桃，太可怜了，干脆先给四只豆豆每人发一个屁桃然后再收回来
那这样就会多出四个屁桃，所以问题就变成了十五个屁桃，四只豆豆，每只豆豆至少一个屁桃
然后就可以很轻易地抽象出模型：

把\(15\)个相同物品分成不同\(4\)组，有几种方案

答案是\(C_{14}^{3}\)

欸？好像忘了把屁桃收回来了，真是喂了狗了

有四只小狗，叫豆豆一号，豆豆二号……有十一个一模一样的屁桃（一种桃子），现在要把屁桃分给豆豆们，鉴于上一题中豆豆们太可怜，现在要求每只豆豆最少两个屁桃，请问有多少种分配方案

有上一题的启发就好办多了嘛，我们先给每只豆豆一个屁桃
问题变为有七个屁桃，要分给四只豆豆，每只豆豆至少一个，有多少种方案，这不就是基本模型吗

变形三

停电了，单元楼的楼梯有\(11\)个台阶，为了防止隔壁的老奶奶散步回来看不到路，豆豆要在楼梯上放三支蜡烛，每个台阶上只能放一个，相邻的台阶不能都放（因为作用不大），请问有多少种放置的方案

\(emmmm\)又变得和模型不一样了，怎么办呢
我们的思路还是把没见过的模型转换成我们会的模型
我们稍微把题目里的主人公们换一换，我们把蜡烛换成板子，把台阶换成神探
怎么样，是不是很熟悉，这不就是用\(3\)块板子把八位神探分成四组嘛
等等，是不是漏了什么？？？
哦对了，这个题里我们可以把板子插在最左边和最右边
答案就是\(C_{7+2}^{3}\)

捆绑法

和乘法原理很像的

适用范围

用于解决某几个物品必须在一起的排列问题

问题

豆豆有好多书啊，有全套七本哈利波特，四本数学课本和三本课外杂志。出于对魔法世界的敬畏，豆豆必须要把哈利波特摆在一起，在数学老师的淫威之下（其实我们的数学老师人很好的QWQ），也必须把数学课本摆在一起，请问有几种摆放方法呢

我们要把不会的转变成我们会的
把哈利波特当做一个整体\(A\)，把数学课本当做一个整体\(B\)，剩下的三本杂志是\(CDE\)
然后问题就转换成了五个字母，有多少种排列的方法
答案是\(A_{5}^{5}\)
但是哈利波特的七本也是不同的啊，所以\(A\)内部的摆放方法有\(A_{7}^{7}\)
同理，数学课本也有\(A_{4}^{4}\)种，这就是典型的分步乘法
所以最终答案是\(A_{5}^{5}A_{4}^{4}A_{7}^{7}\)

基本模型

有\(n\)个物品，其中有\(m\)个物品\(A\)必须摆在一起，摆放方案数为\(A_{n-m+1}^{n-m+1}A_{m}^{m}\)

要注意必须在一起的物品有没有顺序要求哦，如果没有要求，答案就是\(A_{n-m+1}^{n-m+1}\)

插空法

其实是插板法的变形

适用范围

用于某几个物品不能在一起的问题

问题

屁桃和豆豆吵架了，恰好这天全球七大蠢蛋要在一起照相，豆豆和屁桃当然不想挨在一起照相，请问有多少种拍照的方式呢

还是老思路啦，化不会的为会的
怎么办呢
既然屁桃和豆豆这么倔，那不如我们把他俩当做两块顽固的板子吧
问题变成了两块板子把五个蠢蛋分成三组，每组最少一个人，有多少种方案
容我细细思考，发现板子可以插在最左边和最右边
答案就是\(C_{6}^{2}\)

总结

相同物品分组用插板法
存在相邻物品用捆绑法
存在不邻物品用插空法

千万注意考虑两端能否插板的问题

一些其它问题的独特思考方法和思路

其实是一些自己发现的奇技淫巧（很多人应该本来就会吧

三个运动员，要报名两个项目，每个人只能且必须报一项，请问有几种报名方案

如何判断这个问题的答案是\(2^3\)还是\(3^2\)呢，以下是从信息奥赛的角度进行理解

受到答案形式的启发（\(3^2\)或\(2^3\)）我们考虑采用转换进制的方法

二进制数\(111_2\)的大小是多少呢？简单运算一下发现是\(7\)
运算方法\(2^0+2^1+2^2\)，为了方便我们表示为\(2^3-1\)
那么比\(7\)小的自然数有几个呢？八个，即\(2^3-1+1 = 2^3\)
他们的二进制形式分别是
\(000\)，\(001\)，\(010\)，\(011\)，\(100\)，\(101\)，\(110\)，\(111\)
观察一下，有什么发现？
这八个数，就是用\(0\)和\(1\)组成一个三位数的所有情况
那我们再深入思考，我们用\(0\)表示参加项目\(A\)，用\(1\)表示参加项目\(B\)
用第一位数表示第一个人，第二位数表示第二个人，第三位数表示第三个人
那么以上八个数字就是所有的情况了，可见共有八种情况，也就是\(2^3\)种
第一个\(2\)表示可以选的项目数，我们把选项目\(A\)或\(B\)叫做运动员的状态，那第一个\(2\)就是状态数
第二个\(3\)就是运动员的数目

同样的，如果是三个运动员报名四个项目，我们可以表示成\(4^3 - 1 + 1 = 4^3\)

总而言之，面对没见过的奇怪的题，我们要想办法把它转化成我们熟悉的形式

不知道怎么分类，随手扔到数论区里吧~
啊我要去睡觉了，好困QWQ