最小生成树的Prim算法以及Kruskal算法的证明

Prime算法的思路：从任何一个顶点开始，将这个顶点作为最小生成树的子树，通过逐步为该子树添加边直到所有的顶点都在树中为止。其中添加边的策略是每次选择外界到该子树的最短的边添加到树中（前提是无回路）。

Prime算法的正确性证明：

引理1：对于连通图中的顶点vi，与它相连的所有边中的最短边一定是属于最小生成树的。

引理2：

证明：

假设最小生成树已经建成；(vi, vj)是连接到顶点vi的最短边，在最小生成树中取出vi，断开连接到vi的边，则生成树被拆分成

1、顶点vi

2、顶点vj所在的连通分量（单独一个顶点也看作一个独立的连通分量）

3、其余若干个连通分量（个数大于等于0）

三个部分

现在要重建生成树，就要重新连接之前被断开的各边

虽然不知道之前被断开的都是哪几条边，但是可以通过这样一个简单的策略来重建连接：将vi分别以最小的成本逐个连接到这若干个互相分离的连通分量；具体来说，就是要分别遍历顶点vi到某个连通分量中的所有顶点的连接，然后选择其中最短的边来连接vi和该连通分量；而要将vi连接到vj所在的连通分量，显然通过边(vi, vj)连接的成本最低，所以边(vi, vj)必然属于最小生成树（如果连接到vi的最短边不止一条，只要任意挑选其中的一条(vi, vj)即可，以上的证明对于这种情况同样适用）。

这样我们就为原来只有一个顶点vi的子树添加了一个新的顶点vj及新边(vi, vj)；接下来只要将这棵新子树作为一个连通子图，并且用这个连通子图替换顶点vi重复以上的分析，迭代地为子树逐个地添加新顶点和新边即可。

Kruskal算法：通过从小到大遍历边集，每次尝试为最小生成树加入当前最短的边，加入成功的条件是该边不会在当前已构建的图中造成回路，当加入的边的数目达到n-1，遍历结束。

Kruskal算法的正确性证明：

Kruskal算法每次为当前的图添加一条不会造成回路的新边，其本质是逐步地连接当前彼此分散的各个连通分量（单个顶点也算作一个连通分量），而连接的策略是每次只用最小的成本连接任意两个连通分量。这个策略之所以能够实现，是因为每加入一条边之后只会出现两种结果：

1、在已有的连通分量中形成回路

2、连接两个彼此独立的连通分量

所以，通过从小到大遍历边集，判断是否会造成回路，然后逐条添加新边就可以实现上诉的连接策略

接下来需要证明的是，为什么每次用最小成本连接两个连通分量，最后就可以生成一棵最小生成树（毕竟每一个当前的最优解之和未必是全局的最优解）

借用在Prim算法中提到的那个判断就可以很方便地证明：“如果某个连通图属于最小生成树，那么所有从外部连接到该连通图的边中的一条最短的边必然属于最小生成树”

通过这个判断，可以很容易地证明：当最小生成树被拆分成彼此独立的若干个连通分量的时候，所有能够连接任意两个连通分量的边中的一条最短边必然属于最小生成树（因为该边必然是这两个连通分量的可以连接到外部的最短边）。

由此也就证明了，Kruskal算法通过每次以最小的成本来连接两个连通分量的策略确实可以正确地生成最小生成树。