[HNOI/AHOI2018]排列 贪心

题面

题解：

把题面的限制换成中文：

如果排在第k位的下标 = 排在第j位的值 ，那么k < j

换一个描述方式：

一个值为x的数要排在第x个数后面。

再换一个描述方式：

\(fa[i] = a_i\)

仿佛有什么不对劲？

嗯这其实就是一棵树。

并且我们可以发现，这棵树一定以一个虚拟节点0为根，并且有合法排列,也就是树没有环，当且仅当从0开始遍历，可以遍历到所有节点。

且排列合法当且仅当我们在访问一个节点之前，先访问它的父亲，也就相当于在树上走。

因为如果不以0为根，那么由于题面中所说权值大小在\([1, n]\)的区间内，我们根本无法找到进入这样一些关系的"入口",因为不管我们尝试从那个点开始走，都必须要先去这个点的父亲，而要去这个点的父亲，又要先去这个点的父亲的父亲……因为在这棵树中，我们唯一可以直接到达的点是虚拟节点0，所以如果这些关系组成的边无法通向0的话，我们只能在无限个这样的限制中绕圈，永远无法找到入口，即没有合法的解。

因此我们真正的题面其实是：

给定一个n + 1个节点的树，依次取点，满足取儿子之前，必须要取它的父亲。每个点有权值，第i个取的点的权值会被乘上i,求一个合法方案，使得取完所有点后权值之和最大。

根据贪心的原则，一个点的权值越小，就越要优先取。

因此我们考虑整棵树中权值最小的那个节点。

1，如果这个节点没有父亲(或父亲已经被取走)，那我们肯定先取它。

2，如果这个点有父亲，那么一旦我们取了它的父亲，我们肯定会马上就取它(此时满足情况1)

综上，我们得到一个结论，如果我们每次考虑权值最小的那个节点，这个节点要么没有父亲(f[i] = 0),要么一定会紧挨着它的父亲取。

所以这个点和它的父亲在最优排列中一定是相邻的，因此我们可以考虑合并这2个节点。

那么实际上，树中的每个节点就代表了一段排列，现在来考虑一段排列怎么评估一段排列的权值

假设有一个长度为\(m_1\)的序列\(a\),和一段长度为\(m_2\)的序列\(b\),我们表示出序列\(ab\)和序列\(ba\)的权值

\[W_{ab} = \sum_{j = 1}^{m_1}(i + j)W_{a_j} + \sum_{j = 1}^{m_2}(i + j + m_1)W_{b_j}
\]

\[W_{ab} = \sum_{j = 1}^{m_2}(i + j)W_{b_j} + \sum_{j = 1}^{m_1}(i + j + m_2)W_{a_j}
\]

如果排列\(ab\)优于排列\(ba\),那么\(W_{ab} > W_{ba}\),即先选\(a\)更优

那么有：

\[W_{ab} - W_{ba} = m_1W_b - m_2W_a > 0
\]

\[\frac{W_b}{m_2} > \frac{W_a}{m_1}
\]

因此我们只需要以平均权值作为新的权值来考虑即可。

根据上诉式子，可以得到，如果我们把序列\(b\)放在序列\(a\)后面，可以得到一个独立的\(m_1 \cdot W_b\)的贡献，因此在不断合并节点的过程中统计贡献即可

\(\Delta\)此题有点卡精度，请用long double……

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define AC 501000
#define LL long long
#define ld long double 
int n, rnt;
LL ans, sum[AC];
int v[AC], fa[AC], cnt[AC];//cnt记录每个节点的版本号
int Next[AC], last[AC], belong[AC], Size[AC];//用并查集+双向链表来维护已经合并的序列
struct node{int id, x; ld w;};//当前点版本号+编号+值
struct cmp{bool operator() (node a, node b){return a.w > b.w;}};
struct road{
    int Head[AC], Next[AC], date[AC], tot;
    inline void add(int f, int w){
        date[++ tot] = w, Next[tot] = Head[f], Head[f] = tot;
    }//用父亲向儿子连边
}E;
node _s[AC]; int _top;//check
struct STL_Delete_queue{
    priority_queue<node, vector<node>, cmp> q1;
    void del(int x){++ cnt[x];}//删除编号为x的并查集
    void push(node x){q1.push(x);}
    int top()
    {
        while(!q1.empty() && q1.top().id != cnt[q1.top().x]) q1.pop();
        int x = q1.top().x;
        q1.pop();
        return x;
    }
    void check()
    {
        _top = 0;
        while(!q1.empty()) _s[++ _top] = q1.top(), q1.pop();
        for(R i = 1; i <= n; i ++)
            printf("%d %.3Lf\n", _s[i].x, _s[i].w);
        for(R i = 1; i <= _top; i ++) q1.push(_s[i]);
    }
}q;
inline int read()
{
    int x = 0;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}
int find(int x)
{
    if(belong[x] == x) return x;
    else return belong[x] = find(belong[x]);
}
void dfs1(int x)//先判断是否合法
{
    ++ rnt;//和0相连的点必定形成一个合法的树,其他不合法的环都是独立出来的。
    for(R i = E.Head[x]; i != -1; i = E.Next[i])
        dfs1(E.date[i]);//所以只需要记录从0开始遍历，可以遍历到多少点即可
}	
void pre()
{
    n = read();
    for(R i = 0; i <= n; i ++) E.Head[i] = Next[i] = last[i] = -1;//因为有0号节点，因此先全都赋值为-1
    for(R i = 1; i <= n; i ++) fa[i] = read(), E.add(fa[i], i), belong[i] = i;
    for(R i = 1; i <= n; i ++)
    {
        v[i] = sum[i] = read(), ans += v[i];
        q.push((node){0, i, (ld)v[i]}), Size[i] = 1; //维护集合的信息
    }
}
void work()
{
    for(R i = 1; i <= n; i ++)//因为一共有n + 1个节点，所以会合并n次
    {
        int x = q.top(), fx = find(fa[x]);
        belong[x] = fx, q.del(fx);
        ans += Size[fx] * sum[x], Size[fx] += Size[x], sum[fx] += sum[x];
        if(fx) q.push((node){cnt[fx], fx, (ld)sum[fx] / (ld)Size[fx]});
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
int main()
{
//	freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    dfs1(0);
    if(rnt != n + 1) printf("-1\n");
    else work();
//	fclose(stdin);
    return 0;
}