网络流24题之星际转移问题（洛谷P2754）

洛谷 P2754

题目背景

none!

题目描述

由于人类对自然资源的消耗，人们意识到大约在 2300 年之后，地球就不能再居住了。于是在月球上建立了新的绿地，以便在需要时移民。令人意想不到的是，2177 年冬由于未知的原因，地球环境发生了连锁崩溃，人类必须在最短的时间内迁往月球。现有 n 个太空站位于地球与月球之间，且有 m 艘公共交通太空船在其间来回穿梭。每个太空站可容纳无限多的人，而每艘太空船 i 只可容纳 H[i]个人。每艘太空船将周期性地停靠一系列的太空站，例如：(1，3，4)表示该太空船将周期性地停靠太空站 134134134…。每一艘太空船从一个太空站驶往任一太空站耗时均为 1。人们只能在太空船停靠太空站(或月球、地球)时上、下船。初始时所有人全在地球上，太空船全在初始站。试设计一个算法，找出让所有人尽快地全部转移到月球上的运输方案。

对于给定的太空船的信息，找到让所有人尽快地全部转移到月球上的运输方案。

输入输出格式

输入格式：

第 1 行有 3 个正整数 n（太空站个数），m（太空船个数）和 k（需要运送的地球上的人的个数）。其中 n<=13 m<=20, 1<=k<=50。

接下来的 m 行给出太空船的信息。第 i+1 行说明太空船 pi。第 1 个数表示 pi 可容纳的人数 Hpi；第 2 个数表示 pi
一个周期停靠的太空站个数 r，1<=r<=n+2；随后 r 个数是停靠的太空站的编号(Si1,Si2,…,Sir)，地球用 0
表示，月球用-1 表示。时刻 0 时，所有太空船都在初始站，然后开始运行。在时刻 1，2，3…等正点时刻各艘太空船停靠相应的太空站。人只有在
0,1,2…等正点时刻才能上下太空船。

输出格式：

程序运行结束时，将全部人员安全转移所需的时间输出。如果问题

无解，则输出 0。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 1
1 3 0 1 2
1 3 1 2 -1

输出样例#1：

5

说明

none!

Solution：

这道题贼有意思，看了半天感觉和网络流扯不上关系，也想不出什么学过的算法来做，除了暴力模拟外完全没思路。。。然后看了下题解的方法，建图简直太巧妙了，一下豁然开朗。。。

1、题目要求若不能到达月球则输出0。考虑到飞船会不停按周期飞行，若地球和月球能通过某一方法连接起来，则一定会有解。那么我们先来判断是否有解。因为是判断相连，容易想到并查集，所以我们在输入飞船周期时就对飞船停留的地点放入一个连通块，最后判断地球和月球是否在同一个连通块中就OK了，实现即简单的并查集。10分到手。

2、然后来重点了，我们如何解决问题呢？可以发现整个运行过程呈周期性（即飞船停留地点有周期）和单一性（某一时刻一艘飞船只会在一个地点，必须且只能运行到周期的下一个地点）。而且可以确定从地球能到月球的最大人数会随着期限的增大而递增，可以枚举天数或者二分答案，并用网络最大流来check，一旦最大能到达月球的人数恰大于或刚好等于k，则输出此时的期限。

3、至于check时的关键是如何建边（最最关键一定得理解），由飞船的周期性和单一性我们直接可以把每个空间站按天数进行建点和连边，于是建图：

• 1.原点（s）到地球（ear）有一条容量为k的边；（表示要送出k个人民）
• 2.月球（yue）到汇点（t）有一条容量为INF的边；
• 3.每个空间站的前一天的点到该空间站的后一天有一条容量为INF的边；（表示人民可以待在空间站里度过一天又一天）
• 4.若一个飞船在前一天在某一空间站（或地球），后一天在另一个空间站（或月球），则在对应的两个点间连一条有向边，容量为飞船的载重；（表示前一天某一空间站（或地球）的几个人民可以通过一个飞船坐到后一天的另一个空间站（或月球）；

为了方便理解本人（五尺滴）盗了一张图，此图是按照所给的样例画的草图：

我的代码实现并不是按照上图建的，这里解释一下，我先把每个点都加了2（因为地球为0，月球为-1，不方便建图，加2后分别得到了2和1），记住n+2还有周期里的每个点也得加2，然后设置炒鸡源S（0），炒鸡汇（520（比较大的值）），照上述方法建图。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define il inline
 using namespace std;
 const int N=,inf=;
 int n,m,k,cnt=,T[][],h[N],dis[N],pi[N],num[N],fa[N];
 int s,t=,ans;
 struct edge{
 int to,net,v;
 }e[N*];
 queue<int>q;
 il void add(int u,int v,int w)
 {
     e[++cnt].to=v,e[cnt].net=h[u],e[cnt].v=w,h[u]=cnt;
     e[++cnt].to=u,e[cnt].net=h[v],e[cnt].v=,h[v]=cnt;
 }
 il bool bfs()
 {
     memset(dis,-,sizeof(dis));
     dis[s]=;q.push(s);
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
         if(dis[e[i].to]==-&&e[i].v>)dis[e[i].to]=dis[u]+,q.push(e[i].to);
     }
     return dis[t]!=-;
 }
 il int dfs(int u,int op)
 {
     if(u==t)return op;
     int flow=,used=;
     for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
     {
         int v=e[i].to;
         if(dis[v]==dis[u]+&&e[i].v>){
             used=dfs(v,min(op,e[i].v));
             if(!used)continue;
             op-=used,flow+=used;
             e[i].v-=used,e[i^].v+=used;
             if(!used)break;
         }
     }
     if(!flow)dis[u]=-;
     return flow;
 }
 il int find(int x)
 {
     if(fa[x]==x)return x;
     return fa[x]=find(fa[x]);
 }
 il void unionn(int x,int y){x=find(x),y=find(y);if(x!=y)fa[x]=y;}
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     n+=;
     for(int i=;i<=n+;i++)fa[i]=i;
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d",&pi[i],&num[i]);
         for(int j=;j<num[i];j++){
         scanf("%d",&T[i][j]),T[i][j]+=;
         if(j!=)unionn(T[i][j-],T[i][j]);}
     }
     if(find()!=find()){puts("");return ;}
     int sum=;
     while()
     {
         add(ans*n+,t,inf);
         add(s,ans*n+,inf);
         if(ans)
         {
             for(int i=;i<=n;i++)add((ans-)*n+i,ans*n+i,inf);
             for(int i=;i<=m;i++){
                 int x=T[i][(ans-)%num[i]];
                 int y=T[i][ans%num[i]];
                 add((ans-)*n+x,ans*n+y,pi[i]);
                 }
         }
     while(bfs())sum+=dfs(s,inf);
     if(sum>=k)break;
     ans++;
     }
     cout<<ans;
     return ;
 }