Pollard Rho因子分解算法
有一类问题,要求我们将一个正整数x,分解为两个非平凡因子(平凡因子为1与x)的乘积x=ab。
显然我们需要先检测x是否为素数(如果是素数将无解),可以使用Miller-Rabin算法来进行测试。
Pollard Rho是一个非常玄学的方式,用于在O(n^1/4)的期望时间复杂度内计算合数n的某个非平凡因子。事实上算法导论给出的是O(√p),p是n的某个最小因子,满足p与n/p互质。但是这些都是期望,未必符合实际。但事实上Pollard Rho算法在实际环境中运行的相当不错。
Pollard Rho利用伪随机数生成公式来提供待测因子,其公式为xi=xi-1^2+c(mod n),其中c是开始时确认的随机常数。我们只要给出x1,利用这个公式可以生成一系列数值。由于每个数完全依赖于前一个数,因此数值的分布中必定含环,我们设t为环的路口,u为环的周长,那么有xt+i=xt+u+i。而整个数值分布就像一个ρ符号,因此该算法的后缀用Rho来表示。我们将该公式得出的序列视作随机序列。
生日悖论中指出一个√d个学生的班级中,期望至少有一对人在同一天生日,其中d是一年中的日期,即365。同样一个√d个人的班级中,至少有一对人在同一天生日的概率大于50%。我们将n视作一年中的天数,而1~n-1中的每个值都对应一年中的日期,将x1,x2,...视作学生,那么序列中期望有两个有两个人相同,只需要序列的长度达到√n即可。因此我们可以认为ρ符号的尾部与环的周长的期望均为√n。
假设n=ab,其中a与b均不是n的平凡因子,我们假设a<=b,可知a<=√n。我们记yi=xi(mod a)。可知:
$$ y_i=x_i\left(mod\ a\right)=\left(x_{i-1}^2+c\right)\left(mod\ n\right)\left(mod\ a\right)=\left(x_{i-1}^2+c\right)\left(mod\ a\right) $$ $$ =\left(\left(x_{i-1}\left(mod\ a\right)\right)^2+c\right)\left(mod\ a\right)\Rightarrow\left(y_{i-1}^2+c\right)\left(mod\ a\right)=y_i\left(mod\ a\right) $$
我们依据a为模数建立了新的一个ρ型轨迹,且a的ρ型轨迹的环必然仅出现n的ρ型轨迹的环上的数值(模a的结果)。由同样的分析可得a的ρ型轨迹的环的尾部和环的长度的期望均为n^(1/4)。对于a的ρ型轨迹的环上的任意一点k,假设其对应的是两个不同的值xi与xj,即xi<>xj(mod n)但xi=xj(mod a)。此时可以知(xi-xj)=rp(mod n),而gcd(xi-xj, n)的结果必然是n的一个非平凡因子(且能被a整除)。我们可以利用一个特定的变量p先后在迭代到x1,x2,x4,x8,...时记录这些值,之后每次都校验gcd(xi-p, n)是否既非1又非n,如果满足则找到n的非平凡因子,否则继续迭代。之前说过a的ρ型轨迹的环的尾部和环的长度的期望均为n^(1/4),因此当我们p记录xh时,其中xh落在a的ρ型轨迹的环上且h大于等于环的周长时,此时我们会沿着a的ρ型轨迹的环进行周而复始的循环迭代,最终在修改p之前xi回到了xh的位置,此时借助gcd(xi-p, n)我们就找到了一个n的非平凡因子。h的期望应该为O(n^(1/4)),因此时间复杂度的期望应该为O(n^(1/4))。
下面给出代码:
pollard_rho(x)
c = random()
xi = random()
i =
h =
xh = xi
while(true)
xi = (xi * xi + c) % n
f = gcd(x, abs(xi - xh))
if(f != && f != n)
return f
i = i +
if( i == h * )
h = i
xh = xi
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