[ZJOI2007]棋盘制作

题目描述

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个8 \times 88×8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。

而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。

小Q找到了一张由N \times MN×M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。

不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。

于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

输入输出格式

输入格式：

包含两个整数NN和MM，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的NN行包含一个N \ \times MN ×M的0101矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（00表示白色，11表示黑色）。

输出格式：

包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

输入输出样例

输入样例#1：

3 3

1 0 1

0 1 0

1 0 0

输出样例#1：

4

6

说明

对于$20\%$的数据，$N, M ≤ 80N,M≤80$

对于$40\%$%的数据，$N, M ≤ 400N,M≤400$

对于$100\%$的数据，$N, M ≤ 2000N,M≤2000$

Solution

在这之前,我们先认识一个数据结构-单调栈

单调栈在计算最大子矩阵这一方面非常好用

那么单调栈是什么呢?

其实顾名思义,就是一个保持单调性的栈

若保持单调递增

那么在碰到一个元素小于栈顶时,我们会不断弹出栈顶,直到当前元素大于栈顶,一般就是在此过程中更新答案

否则直接入栈

单调递减同理

那么来看这样一道题目:在一条水平线上方有若干个矩形,求包含于这些矩形的并集内部的最大矩形的面积(下图中的阴影部分就是答案),矩形个数$<=10^5$

确定了单调栈,应该很好写了吧,因为矩形的宽w[]都为1,长s[]给定

所以我们建立一个单调栈,用来保存若干个矩形,这些矩形的高度是单调递增的,从左到右依次扫描这些矩形

如果当前矩形比栈顶矩形高,直接进栈

否则不断弹出栈顶,在出栈过程中,我们累加每一个矩形的宽度之和,然后用当前矩形的高度乘以这个和,其最大值就是答案,整个出栈过程结束后,我们把高度为当前高度,宽为累加值的新矩阵入栈

大致思路就是这样,那么这道题应该稍微好想了一点吧

预处理出每一列的合法高度,然后枚举每一行,求最大子矩阵的面积大小,正方形是特殊的矩形,所以可以一并算出来

具体细节:我们如果碰到一个不合法的元素,我们就要计算当前出栈元素累加的宽度,但是由于由于长条矩形可能在满足长度递增的情况下,并不与之前一个矩形01相间,所以我们需要另一种计算方法,但是由于这种方法不是很好讲,下面给出代码,请读者画图理解一下(以后有时间在更新)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define x (h[s[top]])
#define y (pos-s[top-1]-1)
#define z min(x,y)
using namespace std;
const int N=2e3+10;
int n,m,top,ans1,ans2;
int a[N][N],s[N],h[N];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(rg int i=1;i<=n;i++)
		for(rg int j=1;j<=m;j++)
		cin>>a[i][j];
	for(rg int i=1;i<=n;i++) {
		for(rg int j=1;j<=m;j++) {
			if(a[i][j]!=a[i-1][j]) h[j]++;
			else h[j]=1;
		}
		int pos=1;
		while(pos<=m) {
			s[top]=pos-1,s[++top]=pos++;
			while(pos<=m && a[i][s[top]]!=a[i][pos]) {
				while(top && h[pos]<h[s[top]])
					ans1=max(ans1,z*z),ans2=max(ans2,x*y),top--;
				s[++top]=pos++;
			}
			while(top) ans1=max(ans1,z*z),ans2=max(ans2,x*y),top--;
		}
	}
	cout<<ans1<<endl<<ans2<<endl;
	return 0;
}

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