近来对贝叶斯网十分感兴趣,按照博客《读懂概率图模型:你需要从基本概念和参数估计开始》给出的第一个例子,试着搭建了一个student网。

(1)点击绿F,对条件概率表予以输入(包括两个祖先节点difficulty和intelligence,这两个节点的绿F输入将会显现在柱状图面版上,其它CPT输入则不显示在面版,仅在点击黄色闪电后自动计算得到)。

(2)现以SAT为例说明为什么p(SAT=low)=0.725:

已知先验概率:p(intelligence=bad)=0.7,p(intelligence=good)=0.3

根据CPT可知likelihood:

p(SAT=low|intelligence=bad)=0.95

p(SAT=low|intelligence=good)=0.2

p(SAT=high|intelligence=bad)=0.05

p(SAT=high|intelligence=good)=0.8

故可以计算evidence如下:

p(SAT=low)=$∑_{intelligence}$ p(SAT=low,intelligence)

=p(SAT=low,intelligence=good)+p(SAT=low,intelligence=bad)

=p(SAT=low|intelligence=good)p(intelligence=good)

+p(SAT=low|intelligence=bad)p(intelligence=bad)

=0.2*0.3+0.95*0.7=0.725

p(SAT=high)=1-p(SAT=low)=0.275

(3)现给定证据SAT=low,并将该证据嵌入到先验概率p(intelligence=bad/good)中去,求p(intelligence=bad|SAT=low)和p(intelligence=good|SAT=low):

由(2)知p(SAT=low)=0.725

p(intelligence=bad|SAT=low)=p(intelligence=bad,SAT=low)/ p(SAT=low)

=(0.95*0.7)/0.725=0.917

p(intelligence=good|SAT=low)=1- p(intelligence=bad|SAT=low)=0.083

因此在给子节点SAT的值进行设定以后(变灰以后),现在显示在父节点Intelligence柱状图面板的结果实际上是嵌入证据以后的后验概率p(intelligence|SAT=low)(但是如果你点击绿F查看Intelligence可以发现表格所显示的先验概率的值p(intelligence)还是保持不变,为0.7和0.3)

(4) uncertain evidence (BRML: 3.2.1 Uncertain evidence)

y为硬证据,y~为软证据。p(y|y~)是“硬证据确实成立”的概率。以Gibbon太太为例:

“100%确定听到报警”是硬证据(y=1),“0%确定听到报警(没听到报警)”同样是硬证据(y=0);

“80%确定听到报警”是软证据(y~),硬证据y=1确实成立的概率p(y=1|y~)为80%,硬证据y=0确实成立的概率p(y=0|y~)=20%。

——————

在(3)里我们是将“SAT考了低分”作为证据嵌入的,此时“SAT低分”是确凿无疑的(称之为“硬证据”)。现在仍然以SAT成绩和智力水平为例,当我不知道我的智力水平,且SAT成绩还没出来,但是我刚刚考完SAT,对自己考了多少分有个大概的估计(以下图为例:我仅有33.7%的把握我SAT考的不错),那么这个“不确定成绩”也是可以作为证据嵌入的,称之为“软证据”。现在我们希望计算嵌入软证据后的后验概率p(intelligence|SAT~)。

软证据如下:

66.3%确定SAT=low——p(SAT=low|SAT~)=0.663

33.7%确定SAT=high——p(SAT=high|SAT~)=0.337

由上面的公式:

p(intelligence=bad|SAT~)=$∑_{SAT}$ p(intelligence=bad|SAT)p(SAT|SAT~)

= p(intelligence=bad|SAT=low)p(SAT=low|SAT~)

+ p(intelligence=bad|SAT=high)p(SAT=high|SAT~)

=0.917*α+0.127(1-α)

=0.917*0.663+0.127*0.337

=0.651

(其中α=0.663,为“SAT考低分的确信程度”)

(红色部分即(3)中算出的结果,绿色部分我还没有算,可以用类似的方法手算得出,也可以简单地在SAT面板上将high的柱状图拉到100%再看intelligence面板上bad的显示值)

2018.9.20

by 悠望南山

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