值得一做》关于数学与递推 BZOJ1002 （BZOJ第一页计划）（normal+）

　　什么都不说先甩题目

Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

 

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

　　这道题其实思路应该是生成树计数问题，但是很明显的，本题给出的数据范围对于一般使用的Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)来说数据范围有点大，所以在这里Matrix-Tree只作为暴力算法，正解得出的方法是用奇怪的递推式。

　　首先来讲讲Matrix-tree，具体方法是这样：

　　一，首先得出一个点的度的矩阵A，定义为：对于当前矩阵A[i][j]来说，只有在当前i=j的情况下，A[i][j]为第i个点的度数，其他点为0；

　　二，得出一个关于边的矩阵B，定义为：对于当前的矩阵B[i][j]来说，当i与j相连的情况下，B[i][j]为1，其他点为0；

　　最后得出一个最终矩阵C，对于C的定义为：C[i][j]=A[i][j] - B[i][j]；

　　我们在最后的计算前要对矩阵C做一件玄学的事情：以一个对角线数字作为关键点，消掉该关键带点所在横行于纵行所有点（包括自己），把剩下的点再拼成矩阵C（事关玄学）；

　　接下来就很简单了，把新矩阵C当做一组线性方程，然后用高斯消元对C来求解（只需要把由对角线切开的任意一个数字三角上的数全消为0即可），然后把对角线上的数字全部相乘，得出解；

　　贴出以这种方法写的n<20的暴力

 #include<stdio.h>
 double mp[][];
 int n;
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     if(n==){printf("");return ;}//来组特判
     if(n==){printf("");return ;}
     mp[][]=,mp[][n]=-,mp[][]=-,mp[n][n]=,mp[n][]=-,mp[n][n-]=-;
     for(int i=;i<n;i++)mp[i][i-]=mp[i][i+]=-,mp[i][i]=;//以下是建立矩阵的过程
     for(int i=;i<=n;++i)//对于这道题，把中间的点看做要消掉的点，建矩阵方法因人而异
     {
         for(int j=;j<i;++j)
         {
             double shit=(-mp[i][j])/mp[j][j];
             for(int k=j;k<=n;++k)
             mp[i][k]+=mp[j][k]*shit;
         }
     }
     double ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         ans*=mp[i][i];
     printf("%d",(int)(ans+0.5));//四舍五入
     return ;
 }

Matrix-tree

　　但是这样并不能A，所以我们要想一种更优的解，

　　根据对打表数据的判断，可以得出g[i]=3*g[i-1]-g[i-2]+2的神奇结论；

　　这个公式好像要依靠对于数论的理解来分析（对于新加入的点对于全图的关系），得出递推式。

　　贴出正解代码

 #include<stdio.h>
 struct shit{
     int a[],len;
 }g[];
 int n;
 shit c(shit x,int y)
 {
     for(int i=;i<=x.len;i++)x.a[i]*=y;
     for(int i=;i<=x.len;i++)
     {
         x.a[i+]+=x.a[i]/;
         x.a[i]%=;
     }
     if(x.a[x.len+])x.len++;
     return x;
 }
 shit j(shit x,shit y)
 {
     x.a[]+=;
     int s=x.len;
     shit z;
     for(int i=;i<=x.len;i++)
     {
         if(x.a[i]<y.a[i])x.a[i+]--,x.a[i]+=;
         x.a[i]=x.a[i]-y.a[i];
     }
     while(x.a[x.len]==)x.len--;
     return x;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     g[].a[]=,g[].len=;
     g[].a[]=,g[].len=;
     for(int i=;i<=n;++i)
         g[i]=j(c(g[i-],),g[i-]);
     for(int i=g[n].len;i>=;i--)printf("%d",g[n].a[i]);
     return ;
 
 } 

另外还有一种思路提供参考

【规律】这里是1--15的打表情况：1 5 16 45 121 320 841 2205 5776 15125 39601 103680 271441 710645 1860496。很快先发现一个规律：第1、3、5、7位是平方数，2、4、6、8位除以5后也是平方数。

　　　　然后再整理：1*1 5*1*1 4*4 5*3*3 11*11 5*8*8 29*29 5*21*21 76*76 5*55*55 199*199 5*144*144 521*521。看着奇数位1,3,8,21,55。。。。。。灵光一现：这不是斐波那契的一半吗：1,2,3,5,8,13,21,24,55.。。。。。另外一个也能表示成类似的相加的数列：

奇数位：1 3 4 7 11 18 29 76

偶数位：1 2 3 5 8 13 21 34 55

主要结论来自于：http://blog.csdn.net/jiangshibiao/article/details/22645557

然后贴出以这种方式A的神犇的代码

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int size=;                 //这里的位数卡着n=100的情况，为了加速。
 struct arr{int num,p[size];}a,b,c;
 int i,n,j;
 arr add(arr a,arr b)
 {
   arr c;memset(c.p,,sizeof(c.p));
   c.num=a.num>b.num?a.num:b.num;
   for (int i=;i<=c.num;i++)
     c.p[i]=a.p[i]+b.p[i];
   for (int i=;i<=c.num;i++)
     c.p[i+]+=c.p[i]/,c.p[i]%=;
   if (c.p[c.num+]) c.num++;
   return c;
 }
 arr chen(arr a,arr b)
 {
   arr c;memset(c.p,,sizeof(c.p));
   for (int i=;i<=a.num;i++)
     for (int j=;j<=b.num;j++)
       c.p[i+j-]+=a.p[i]*b.p[j];
   c.num=a.num+b.num-;
   for (int i=;i<=c.num;i++)
     c.p[i+]+=c.p[i]/,c.p[i]%=;
   while (c.p[c.num+])
   {
     c.num++;c.p[c.num+]+=c.p[c.num]/;c.p[c.num]%=;
   }
   return c;
 }
 int main()
 {
   scanf("%d",&n);
   switch (n)
   {
     case :{printf("");return ;}
     case :{printf("");return ;}
     case :{printf("");return ;}
   }
   if (n%==)
   {
     a.p[]=;b.p[]=;a.num=;b.num=;
     for (i=;i<=n;i++)
     {
       c=add(a,b);
       a.num=b.num;for (j=;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];
       b.num=c.num;for (j=;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];
     }
     c=chen(c,c);
     memset(a.p,,sizeof(a.p));a.p[]=;a.num=;c=chen(c,a);
     for (i=c.num;i>;i--)
       printf("%d",c.p[i]);
   }
   else
   {
     a.p[]=;b.p[]=;a.num=;b.num=;
     for (i=;i<=n;i++)
     {
       c=add(a,b);
       a.num=b.num;for (j=;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];
       b.num=c.num;for (j=;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];
     }
     c=chen(c,c);
     for (i=c.num;i>;i--)
       printf("%d",c.p[i]);
   }
   return ;
 }