「题解」：[组合数学][DP]：地精部落

拿到这道题秒懂题意：波动序列。

然鹅不会打。想了一节课，想打纯组合数学，结果找不到规律。

想的是先假设拍出一个序列，然后交换其中的元素求组合，

无奈没啥规律可循，显然不能一口气求出来（我说的是我没办法，网上大佬们有的是办法……）

然后想dp，挨个插入，妄图一维dp走起，结果摔倒在地

然后我就不是人了。

^废话^

---

称n个数组成的波动数列为n阶波动数列。

我们设f[i][j]表示一个i阶波动数列首个数是j且为山峰的排列种数。

然后推一下状态转移方程。

仔细考虑一下，波动序列似乎有这么几个性质

---

性质一：一个波动序列的连续子序列仍然是波动序列。

性质二：若使一个波动序列排列中大于等于x的元素全部+1，序列仍然满足波动。

性质三：若一个波动序列的排列中x与x+1不相邻，那么交换二者，序列仍然满足波动。

性质四：一个[1,x]的波动序列一定可以对应到[y-x+1,y]的一个波动序列。

---

其实都是一些十分显然的性质。我们主要用到了性质一、三和四来搞我们的状态转移方程。

简单证明性质三（因为某大佬问我的时候在这个性质上稍微犹豫了一下～）

1.若x为波谷，由于x与x+1不相邻，则x两侧的波峰最低为x+2和x+3，交换后仍然满足波动序列。

2.若x为波峰，x两侧的波谷小于x，则必定小于x+1。所以交换后仍然满足波动序列。

证毕。

（^自己证哒^，有不当的地方请多多海涵并评论指出～谢谢大家～）

所以根据性质一，我们可以进行状态转移。（没错性质一是最费的……）

根据性质三，f[i][j]+=f[i][j-1]。（把+1和-1倒个个儿还是一样的……我是不是证翻了QAQ）这好说。

但我们只考虑了性质三中x与x+1不相邻的状态。

于是尝试把j掐掉。

我们发现，把波动序列最左边的j掐掉之后剩下了一个i-1阶的波动序列。

但是我们不能直接转移，现在最左边的变成了j-1。一切是那么顺利，可是j-1是波谷啊QAQ！！

波谷！！

那怎么办？没关系我们有性质四！

回顾一下性质四：一个[1,x]的波动序列一定可以对应到[y-x+1,y]的一个波动序列。

这是啥？这是救世主！

于是我们把所有的序列对应到i-j+1上，发现这东西瞬间变波峰。

（这需要证明吗QAQ，我懒啊～）

然后我们得到了另外一个状态转移：

f[i][j]+=f[i-1][(i-1)-(j-1)+1]。（别问我为什么变成i-1和j-1了 /糊脸）

完结撒花～

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
#define rint register int
using namespace std;
ll n,mod,f[][];
signed main()
{
    ll now=;
    scanf("%lld %lld",&n,&mod);
    f[now][]=;
    for(rint i=;i<=n;i++)
    {
        now^=;
        for(rint j=;j<=i;j++)
            f[now][j]=(f[now][j-]+f[now^][i-j+])%mod;
    }
    ll ans=;
    for(rint i=;i<=n;i++)
        ans=(ans+f[now][i])%mod;
    ans=(ans*%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}

全靠思维量撑起……