CF698F Coprime Permutation

题意：求有多少种符合要求的排列满足对于所有i,j,当gcd(i,j)=1时，gcd(pi,pj)=1。

排列上的一些位置给出。

标程：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e9+;
 const int N=;
 int n,p[N],cnt[N],Cnt[N],base[N],To1[N],To2[N],jc[N],x,ans;
 vector<int> fac[N];
 void fail(){puts("");exit();}//这个东西超级好用！
 void shai()
 {
     for (int i=;i<=n;i++)
     if (!p[i])
     {
         cnt[n/i]++;
         for (int j=i;j<=n;j+=i)
         {
             p[j]=;base[j]*=i;
             fac[j].push_back(i);
         }
     }
 }
 void check(int x,int y)
 {
    if (fac[x].size()!=fac[y].size()) fail();
    for (int i=;i<fac[x].size();i++)
    {
        int fu=fac[x][i],fv=fac[y][i];
        int u=(x==)?:n/fu,v=(y==)?:n/fv;
        if (u!=v) fail();
        if (To1[fu]&&To1[fu]!=fv) fail();
        if (To2[fv]&&To2[fv]!=fu) fail();
        if (!To2[fv]) To1[fu]=fv,To2[fv]=fu,cnt[u]--;
     }
     Cnt[base[x]]--;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     jc[]=;cnt[]=;//1和所有数互质!!!
     for (int i=;i<=n;i++) jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod,base[i]=;
     shai();fac[].push_back();//!!!
     for (int i=;i<=n;i++) Cnt[base[i]]++;
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
        scanf("%d",&x);
        if (x) check(i,x);
    }
    ans=;
    for (int i=;i<=n;i++)
      ans=(ll)ans*jc[cnt[i]]%mod*jc[Cnt[i]]%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return ;
 }

易错点：1.注意1和所有数互质，所以cnt[1]=1，表示1~n和1不互质的只有1个数。

2.fac[1].push_back(1)，1有一个因数为1，小心判错。

题解：数学+性质

一开始我想分别求出与每个数互质的数的个数，较难。

发现可以从什么样的数相互交换等价入手：1.两个数的因数种类完全一样。2.若质数p1,p2,且[n/p1]=[n/p2]时，即1~n中所有p1的倍数和p2的倍数可以一一对应，那么对应互换。这两个交换相互独立。

如果没有固定元素这样就结束了。

判断合法性：

1.两个元素的因数去重后的个数要一样。

2.两个限制可以合并为对应因数的出现次数一样。

3.质因子之间产生轮换，可以会产生矛盾，要判掉。

最后减去已经确定的答案。

实现的时候有一些小技巧：

1.比较因数种类完全一样时，相当于比较两个数所有质因子的一次乘积。

2.可以用素数筛求出所有质数并筛出每个数的因数种类。

3.当p1,p2<=n^0.5时，[n/p1]与[n/p2]必然不等。