【数论】不定方程&逆元&中国剩余定理

一、不定方程

要求逆元，首先要知道什么是不定方程。

已知a,b,c,求解x,y，形如ax + by = c 的方程就是不定方程。

不定方程有两种解的情况：

1.无解

2.存在且有无限的解

那么，如何判断解的情况呢？

这时候，只需要拿出gcd就可以了，

若gcd(a,b) | c，则方程存在解，为什么呢

因为我们要使用扩展欧几里得来求不定方程，我们都知道欧几里得是求

ax + by = gcd(a,b)

中的 x,y的，因此如果我们要把c代换成gcd(a,b)的话，c一定是gcd(a,b)的整数倍，因此gcd(a,b) | c，因此如果c不是gcd(a,b)的整数倍的话，该不定方程无解。

接下来，就要解这个方程了

因为之前我们得到c一定是gcd(a,b)的整数倍，所以设c = k * gcd(a,b)，则 k * x 和 k * y就是方程的一组解，很好理解，因为我们要求

ax + by = c

代入扩展欧几里得

ax + by = gcd(a,b)

因为二者是等价的，且 c = k * gcd(a,b)，所以两边同乘k

k * (ax + by) = k * gcd(a,b)

化简得

k * x * a + k * y * b = k * gcd(a,b)

将k * gcd(a,b) 等量代换为 c，得到

k*x * a + k*y * b = c

所以对于扩展欧几里得，k*x和k*y就是该不定方程的一个解。

现在有特解，需要求通解：

因为有了解，所以它存在无限的解，所以设t为任意常数代入扩展欧几里得方程，设p1a + q1b = gcd(a,b)

设p = p1 * t

q = q1 * t

显然，因为 p1a + q1b = gcd(a,b)

所以pa + qb = gcd(a,b) * t

两边同除以gcd(a,b)

得到pa / gcd(a,b) + qb / gcd(a,b) = t

两边同除t

得到p1a / gcd(a,b) + q1b / gcd(a,b) = 1

p1a / gcd(a,b) + q1b / gcd(a,b) = 1

p1*(a / gcd(a,b) ) + q1*(b / gcd(a,b)) = 1

根据之前扩展欧几里得的公式，在ax + by = c中，

c必须是gcd(a,b)的整数倍，现在c = 1,gcd(a,b) = gcd( a / gcd(a,b) , b / gcd(a,b) )

所以c必须是gcd( a / gcd(a,b) , b / gcd(a,b) )的整数倍，且 c = 1，所以gcd( a / gcd(a,b) , b / gcd(a,b) ) 只能等于1，

所以a / gcd(a,b) 和 b / gcd(a,b)必须是互质的，这样方程才有解。

知道了判断条件后，我们就可以用扩展欧几里得求不定方程的通解。

二、同余&逆元

接下来需要了解一个概念，叫做同余：

如果 a mod m = b mod m，则称 a,b 在模 m 的意义下同余
可以写成 a ≡ b(mod m)

同余有以下的性质：

a ≡ a(mod m)
若 a ≡ b(mod m)，则 b ≡ a(mod m)
若 a ≡ b(mod m); b ≡ c(mod m)，则 a ≡ c(mod m)

若 a ≡ b(mod m)， c ≡ d(mod m)，则
a + c ≡ b + d(mod m)
a - c ≡ b - d(mod m)
ac ≡ bd(mod m)

通过上述定义，可以得出ax ≡ 1(mod m) 这个同余方程

等同于求解不定方程 ax - my = 1

所以求解ax ≡ 1(mod m)就变成了求解ax - my = 1，所以求解同余方程相当于求解不定方程。

这时候，我们可以引入逆元的定义：

逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，

所以设a的逆元为x，则

ax = 1

在模m的情况下则为

ax ≡ 1(mod m)

这恰恰是一个同余方程，所以可以转化为ax - my = 1，用exgcd求解这个不定方程。

三、中国剩余定理(求同余方程组)

那么如何求解同余方程组呢？

同余方程组：

x ≡ a1(mod m1)

x ≡ a2(mod m2)

...

x ≡ an(mod mn)

在gcd(m1,m2,m3,...,mn) = 1（m1,m2,...,mn互质）时解同余方程组，求解x的最小非负整数解。

这时候设m = ∏(i = 1, n)mi，Mi = m/mi，

设 Miti = 1(mod mi) ，即ti为Mi在模mi情况下的逆元

因为m是m1~mn的公倍数，且Mi = m/mi，所以Mi是除了mi以外的m1~mn的公倍数，

k为除了i以外的1~n的中的整数，则 Mi = 0 (mod mk) ，即 mk | Mi

所以，aiMiti = 0 (mod mk) 所以只要模数是m1~mn之间且模数不是mi，aiMiti 就等于 0

因为我们定义 Miti = 1(mod mi)

所以 aiMiti = ai (mod mi)，所以只要模数是mi，aiMiti 就等于ai

所以aiMiti只有在mod mi的时候才等于ai，mod 其它模数的时候都等于0

因此x = ∑(i = 1, n) aiMiti 时，对于每个方程组：

x = ai(mod mi)

代入x = ∑(i = 1, n) aiMiti 得

∑(i = 1, n) aiMiti = ai (mod mi)

在两边一起 mod mi，

设i = i1时

所以i只要不等于i1,aiMiti都等于0

所以 ai1 = ai1 (mod mi1)

所以x = ∑(i = 1, n) aiMiti 时，方程组有解

此时求出的x是特解，显然，x+km(k为整数)是通解。

易证如果要求最小整数解，只要把x对m取模即可。

中国剩余定理证毕Q.E.D