[LeetCode] Integer Break 整数拆分

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

Example 1:

Input: 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.

Example 2:

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.

Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.

Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.

这道题给了我们一个正整数n，让拆分成至少两个正整数之和，使其乘积最大。最简单粗暴的方法自然是检查所有情况了，但是拆分方法那么多，怎么才能保证能拆分出所有的情况呢？感觉有点像之前那道 Coin Change，当前的拆分方法需要用到之前的拆分值，这种重现关系就很适合动态规划 Dynamic Programming 来做，我们使用一个一维数组 dp，其中 dp[i] 表示数字i拆分为至少两个正整数之和的最大乘积，数组大小为 n+1，值均初始化为1，因为正整数的乘积不会小于1。可以从3开始遍历，因为n是从2开始的，而2只能拆分为两个1，乘积还是1。i从3遍历到n，对于每个i，需要遍历所有小于i的数字，因为这些都是潜在的拆分情况，对于任意小于i的数字j，首先计算拆分为两个数字的乘积，即j乘以 i-j，然后是拆分为多个数字的情况，这里就要用到 dp[i-j] 了，这个值表示数字 i-j 任意拆分可得到的最大乘积，再乘以j就是数字i可拆分得到的乘积，取二者的较大值来更新 dp[i]，最后返回 dp[n] 即可，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + , );
        for (int i = ; i <= n; ++i) {
            for (int j = ; j < i; ++j) {
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

题目提示中让用 O(n) 的时间复杂度来解题，而且告诉我们找7到 10 之间的规律，那么我们一点一点的来分析：

正整数从1开始，但是1不能拆分成两个正整数之和，所以不能当输入。

那么2只能拆成 1+1，所以乘积也为1。

数字3可以拆分成 2+1 或 1+1+1，显然第一种拆分方法乘积大为2。

数字4拆成 2+2，乘积最大，为4。

数字5拆成 3+2，乘积最大，为6。

数字6拆成 3+3，乘积最大，为9。

数字7拆为 3+4，乘积最大，为 12。

数字8拆为 3+3+2，乘积最大，为 18。

数字9拆为 3+3+3，乘积最大，为 27。

数字10拆为 3+3+4，乘积最大，为 36。

....

那么通过观察上面的规律，我们可以看出从5开始，数字都需要先拆出所有的3，一直拆到剩下一个数为2或者4，因为剩4就不用再拆了，拆成两个2和不拆没有意义，而且4不能拆出一个3剩一个1，这样会比拆成 2+2 的乘积小。这样我们就可以写代码了，先预处理n为2和3的情况，然后先将结果 res 初始化为1，然后当n大于4开始循环，结果 res 自乘3，n自减3，根据之前的分析，当跳出循环时，n只能是2或者4，再乘以 res 返回即可：

解法二：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n ==  || n == ) return n - ;
        int res = ;
        while (n > ) {
            res *= ;
            n -= ;
        }
        return res * n;
    }
};

我们再来观察上面列出的 10 之前数字的规律，我们还可以发现数字7拆分结果是数字4的三倍，而7比4正好大三，数字8拆分结果是数字5的三倍，而8比5大3，后面都是这样的规律，那么我们可以把数字6之前的拆分结果都列举出来，然后之后的数通过查表都能计算出来，参见代码如下；

解法三：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp{, , , , , , };
        for (int i = ; i <= n; ++i) {
            dp.push_back( * dp[i - ]);
        }
        return dp[n];
    }
};

下面这种解法是热心网友留言告诉博主的，感觉很叼，故而补充上来。是解法一的一种变形写法，不再使用 while 循环了，而是直接分别算出能拆出3的个数和最后剩下的余数2或者4，然后直接相乘得到结果，参见代码如下：

解法四：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n ==  || n == ) return n - ;
        if (n == ) return ;
        n -= ;
        return (int)pow(, (n /  + )) * (n %  + );
    }
};

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/343

参考资料：

https://leetcode.com/problems/integer-break/

https://leetcode.com/problems/integer-break/discuss/80694/Java-DP-solution

https://leetcode.com/problems/integer-break/discuss/80785/O(log(n))-Time-solution-with-explanation

https://leetcode.com/problems/integer-break/discuss/80720/Easy-to-understand-C%2B%2B-with-explanation

https://leetcode.com/problems/integer-break/discuss/80689/A-simple-explanation-of-the-math-part-and-a-O(n)-solution

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