【BZOJ 3620】似乎在梦中见过的样子

题目

（夢の中で逢った、ような……）

「Madoka，不要相信 QB！」伴随着 Homura 的失望地喊叫，Madoka 与 QB 签订了契约。

这是 Modoka 的一个噩梦，也同时是上个轮回中所发生的事。为了使这一次 Madoka 不再与 QB 签订契约，Homura 决定在刚到学校的第一天就解决 QB。然而，QB 也是有许多替身的（但在第八话中的剧情显示它也有可能是无限重生的），不过，意志坚定的 Homura 是不会放弃的——她决定消灭所有可能是 QB 的东西。现在，她已感受到附近的状态，并且把它转化为一个长度为 \(n\) 的字符串交给了学 OI 的你。

现在你从她的话中知道，所有形似于 \(A+B+A\) 的字串都是 QB 或它的替身，且 \(|A|\ge k,|B|\ge 1\) （位置不同其他性质相同的子串算不同子串，位置相同但拆分不同的子串算同一子串），然后你必须尽快告诉 Homura 这个答案——QB 以及它的替身的数量。

\(n\le 1.5\times 10^4, k\le100\)。

注：本题小常数\(O(n^2)\)可过。

Homura不是有回溯时间的能力么。

分析

这个\(A+B+A\)的定义和KMP中的next数组太像了。

我们枚举左端点，先假设我们要判断\([1,r]\)是否合法。

若当前的next值留不出\(B\)的位置，我们需要缩小范围，因为next数组是最长的相同前后缀的长度，而我们要缩小它。

显然的，若\(\rm next[r-1] = p\)，则代表\([1,p]=[r-p,r]\)，且任意的相同前缀后缀的长度都不会大于这个\(p\)。

我们考虑若有\(q<p,[1,q]=[r-q,r]\)，则有\([1,q]=[p-q,p]\)，所以问题等价于找\([1,p]\)之间的最长的相同前后缀，为最大的\(q\)（因为我们要让\(|A|\ge k\)）。

规模成功缩小，只要找到一个留的出\(B\)且\(|A|\ge k\)的一个答案即可统计。

然而，我们发现这样做，时间复杂度是要到\(O(n^3)\)的。

我们只要记录以下满足\(|A|\ge k\)的最小的点，然后直接用就可以了。

时间复杂度\(O(n^2)\)。

伪代码

\[\begin{split}
& \mathbf{Input} :\text{字符串S}\\
& \mathbf{Output} :\text{返回[0,0],[0,1]... [0,|S|]中有几个这样的子串，并处理next数组}\\
\\
1 &\ \mathbf{Function} \;\rm GetNext(S) \;\{ \\
2 &\ \rm \quad j := -1,\; ans := 0 \\
3 &\ \rm \quad \text{For i in [1,n]} \\
4 &\ \rm \quad \quad v := j \\
5 &\ \rm \quad \quad if \; j < k \\
6 &\ \rm \quad \quad \quad v := \infty \\
7 &\ \rm \quad \quad if\; j \ge 0 \\
8 &\ \rm \quad \quad \quad last[i] := min(last[j],\;v) \\
9 &\ \rm \quad \quad else \\
10 &\ \rm \quad \quad \quad last[i] := v \\
11 &\ \rm \quad \quad \text{if } i \le (i - 1) \div 2 \\
12 &\ \rm \quad \quad \quad ans := ans + 1\\
13 &\ \rm \quad \quad While\; j \ge 0 \text{ and S[i]}\not =S[j] \\
14 &\ \rm \quad \quad \quad j := next[j] \\
15 &\ \rm \quad \quad j := j + 1 \\
16 &\ \rm \quad \quad next[i + 1] := j \\
17 &\ \rm \quad return\;ans\\
18 &\ \} \\
\end{split}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad
\]

C++代码

#include <bits/stdc++.h>

using std::cin;
using std::cout;

const int MAXN = 2e4 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int k;

int getnext(std::string s) {
	static int nxt[MAXN], last[MAXN];
	int ans = 0;
	nxt[0] = -1;
	for(int i = 0, j = -1; i <= s.length(); i++) {
		int v = (j >= k ? j : inf);
		last[i] = (j >= 0 ? std::min(last[j], v) : v);
		ans += (last[i] <= (i - 1) / 2);
		while(j >= 0 && s[j] != s[i]) j = nxt[j];
		nxt[i + 1] = ++j;
	}
	return ans;
}

int main() {
	int ans = 0;
	std::string s;
	cin >> s >> k;
	for(int i = 0; i < s.length(); i++) {
		ans += getnext(s.substr(i));
	}
	cout << ans << std::endl;
	return 0;
}

拓展

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