BZOJ 2015：[Noi2010]能量采集（数论+容斥原理）

2005: [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

【数据规模和约定】

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

分析：

平面直角坐标系上的线段（且两端点为整点），其包含的整点（不包括两端点）数为gcd(|x1-x2|,|y1-y2|)-1，其中当重合时要特判。

对于这题很显然是求∑[2*(gcd(x,y)-1)+1](1<=x<=n 1<=y<=m)，也就是所有点（横纵坐标gcd-1）*2+1的和

f[d]表示gcd为d的(x,y)个数，这个直接求是不行的，

可以设g[d]表示公因数为d的(x,y)个数，g[d]=[n/d]*[m/d]，把他们加起来

但是这些数对中有一些的最大公因数为2d,3d,4d，我们要把他们减掉

f[d]=g[d]-Σ(f[d*i])  (2<=i<=[min(n,m)/d])；

倒着做即可

代码：

program dfsg;
var
  f:array[..]of int64;
  n,i,m,j:longint;  x,s:int64;
function min(x,y:int64):int64;
begin
  if x<y then min:=x else min:=y;
end;
begin
  readln(n,m);
  for i:=min(n,m) downto  do
   begin x:=i;
     f[i]:=(n div x)*(m div x);
     for j:= to n div i do dec(f[i],f[i*j]);
     inc(s,f[i]*(*x-));
   end;
  writeln(s);
end.