[BZOJ2402]陶陶的难题II(树链剖分+线段树维护凸包+分数规划)

陶陶的难题II

时间限制：40s      空间限制：128MB

题目描述

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输入格式

第一行包含一个正整数N，表示树中结点的个数。
第二行包含N个正实数，第i个数表示xi (1<=xi<=10^5)。
第三行包含N个正实数，第i个数表示yi (1<=yi<=10^5)。
第四行包含N个正实数，第i个数表示pi (1<=pi<=10^5)。
第五行包含N个正实数，第i个数表示qi (1<=qi<=10^5)。
下面有N-1行，每行包含两个正整数a,b(1<=a,b<=N)，表示树中的边。
第N+5行包含一个正整数M，表示询问的个数。
最后M行，每行包含正整数a,b(1<=a,b<=N)，表示一次询问。

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输出格式

共M行，每行一个实数，第i行的数表示第i次询问的答案。
只要你的输出和我们的输出相差不超过0.001即为正确。

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样例输入

5
3.0 1.0 2.0 5.0 4.0
5.0 2.0 4.0 3.0 1.0
1.0 3.0 2.0 4.0 5.0
3.0 4.0 2.0 1.0 4.0
1 2
1 3
2 4
2 5
4
2 3
4 5
2 4
3 5 

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样例输出

2.5000
1.5000
1.5000
2.5000 

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提示

100%的数据满足N,M≤ 30,000。

1<=Xi,Yi,Pi,Qi<=10^8

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题目来源

没有写明来源

首先根据答案是个分数以及“你的输出和我们的输出相差不超过0.001即为正确”可以想到分数规划。然后化下式子可以发现i和j是可以分开考虑的，加上题目求的式子是一个分数可以自然想到凸包。但是我们怎么维护这个凸包呢？由于没有修改，我们可以通过线段树套std::vector维护，合并时由于两边横坐标都是单增的所以用类似归并排序的方法即可。最后，一般凸包问题都是用三分，但是仔细思考会发现其实二分也可以做。这样总的复杂度就是四个log的（分数规划，树链剖分，线段树，二分查找各一个）。由于复杂度并不满所以可以跑过（当然能用$O(n \log^4 n)$卡掉$O(n^2)$的题并不多见）

 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<algorithm>
 #define ls (x<<1)
 #define rs ((x<<1)|1)
 #define lson ls,L,mid
 #define rson rs,mid+1,R
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
 typedef long double ld;
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,m,u,v,cnt,nd,dfn[N],d[N],top[N],sz[N],son[N],f[N],h[N],to[N<<],nxt[N<<];
 ld vx[N],vy[N],vp[N],vq[N];

 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }

 struct Seg{
     ld px[N],py[N];
     vector<int>V[N<<];

     void insert(vector<int>&V,int p){
         while (V.size()> && (px[V[V.size()-]]-px[p])*(py[V[V.size()-]]-py[p])-(py[V[V.size()-]]-py[p])*(px[V[V.size()-]]-px[p])<-1e-) V.pop_back();
         V.push_back(p);
     }

     void build(int x,int L,int R){
         if (L==R){ V[x].push_back(L); return; }
         int mid=(L+R)>>;
         build(lson); build(rson);
         int pl=,pr=,tl=V[ls].size(),tr=V[rs].size();
         while (pl<tl || pr<tr)
             if (pr==tr || (pl<tl && px[V[ls][pl]]<px[V[rs][pr]])) insert(V[x],V[ls][pl++]);
                 else insert(V[x],V[rs][pr++]);
     }

     ld que(int x,int L,int R,int l,int r,ld k){
         if (L==l && R==r){
             int ll=,rr=V[x].size()-,mid,ans=;
             while (ll<=rr){
                 mid=(ll+rr)>>;
                 if (py[V[x][mid]]-k*px[V[x][mid]]-1e->py[V[x][mid-]]-k*px[V[x][mid-]]) ans=mid,ll=mid+; else rr=mid-;
             }
             return py[V[x][ans]]-k*px[V[x][ans]];
         }
         int mid=(L+R)>>;
         if (r<=mid) return que(lson,l,r,k);
         else if (l>mid) return que(rson,l,r,k);
             else return max(que(lson,l,mid,k),que(rson,mid+,r,k));
     }
 }A,B;

 ld solve(int x,int y,ld ans){
     ld res1=-1e16,res2=-1e16;
     while (top[x]!=top[y]){
         if (d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
         res1=max(res1,A.que(,,n,dfn[top[x]],dfn[x],ans));
         res2=max(res2,B.que(,,n,dfn[top[x]],dfn[x],ans));
         x=f[top[x]];
     }
     if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
     res1=max(res1,A.que(,,n,dfn[x],dfn[y],ans));
     res2=max(res2,B.que(,,n,dfn[x],dfn[y],ans));
     return res1+res2;
 }

 void dfs(int x,int fa){
     sz[x]=; son[x]=;
     For(i,x) if ((k=to[i])!=fa){
         f[k]=x; d[k]=d[x]+; dfs(k,x); sz[x]+=sz[k];
         if (sz[k]>sz[son[x]]) son[x]=k;
     }
 }

 void dfs1(int x,int tp){
     dfn[x]=++nd; top[x]=tp; A.px[nd]=vx[x]; A.py[nd]=vy[x]; B.px[nd]=vp[x]; B.py[nd]=vq[x];
     if (son[x]) dfs1(son[x],tp);
     For(i,x) if ((k=to[i])!=f[x] && k!=son[x]) dfs1(k,k);
 }

 int main(){
     freopen("bzoj2402.in","r",stdin);
     freopen("bzoj2402.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     rep(i,,n) scanf("%Lf",&vx[i]);
     rep(i,,n) scanf("%Lf",&vy[i]);
     rep(i,,n) scanf("%Lf",&vp[i]);
     rep(i,,n) scanf("%Lf",&vq[i]);
     rep(i,,n-) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
     dfs(,); dfs1(,);
     A.build(,,n); B.build(,,n);
     for (scanf("%d",&m); m--; ){
         scanf("%d%d",&u,&v);
         ld L=,R=1e8; int c=;
         while (c--){
             ld mid=(L+R)/;
             if (solve(u,v,mid)>1e-) L=mid; else R=mid;
         }
         printf("%.5Lf\n",L);
     }
     return ;
 }