URAL题解三

URAL 1045

题目描述:有\(n\)个机场,\(n-1\)条航线,任意两个机场有且只有一种方案联通。现有两个恐怖分子从\(m\)号机场出发,第一个人在机场安装炸弹,乘坐飞机,引爆炸弹,在另一个机场降落,然后到第二人做一样的事,轮流做,直到某个人做不到就输。一个机场炸了后,任何与它相连的航线都不复存在。问第一个人能不能赢,如果能,则输出他第一个要飞到的机场,如果不能则输出First player loses

solution
博弈论,输赢状态的搜索。
时间复杂度:\(O(n)\)

URAL 1046

题目描述:在平面上有一个多边形,顶点坐标为\(A_i\)(顺时针),在多边形的每条边的外侧作一个点\(M_i\),使得\(M_i\)与对应边的两个点组成一个等腰三角形(对应边为底边),给出\(M_i\)和对应三角形顶角的角度\(\alpha _i\),求\(A_i\)。

solution
一开始不知道等腰有什么用,下意识就想去几何关系了。后来才想到:如果把\(M_i\)看成圆心,腰看成半径,那对应边的两个点都在圆上,也就是说,这两个点可以通过绕着\(M_i\)旋转一定角度得到,而这个角度就是\(\alpha _i\)。列出两条方程,发现未知数都是一次方的,可以用高斯消元解出所有未知数。
时间复杂度:\(O((2n)^3)\)

URAL 1047

题目描述:有\(n+2\)个数,\(a_0, a_1, ..., a_{n+1}\), 当\(1 \leq i \leq n\)时,\(a_i=(a_{i-1}+a_{i+1})/2-c_i\),给出\(a_0, a_{n+1}, c_i\),求\(a_1\)。

solution
一开始我又蠢蠢地去推公式,想直接算出答案。后来从问的结果得到灵感:不是只要求\(a_1\)吗?如果我能将\(a_{n+1}\)与\(a_0, a_1\)的关系递推出来,问题就解决了。整理一下公式
\[a_i=2(a_{i-1}+c_{i-1})-a_{i-2}\]
把每个\(a_i\)都表示为\(a_i=pa_0+qa_1+m\),最终就可以求出\(a_{n+1}\),解出答案。
时间复杂度:\(O(n)\)

URAL 1048

题目描述:给出两个\(n\)位数,求两个数的和。

solution
高精度,只是要注意一定要输出\(n\)位。
时间复杂度:\(O(n)\)

URAL 1049

题目描述:给出\(10\)个数,求这\(10\)个数的乘积的因数个数的个位。

solution
设\(10\)个数的乘积的质因子有\(m\)个,每个质因子有\(s_i\)个,那么因数个数就是\(\prod_{i=1}^m (s_i+1)\)。所以把这\(n\)个数的质因子个数统计一下即可。
时间复杂度:\(O(10\sigma(10^4))\)

URAL 1050

题目描述:给出很多段落,每个段落进行如下处理:从左到右找出双引号(")对(不一定相邻),将前一个双引号变成两个左单引号(`),将后一个双引号变成两个右单引号('),如果不成一对,则删去单独的双引号。注意:(\)后面紧接着的非字母字符串中的双引号不作处理(即找双引号时将其忽略)。
输出最终的段落。

solution
本来想一边读入一边处理,后来发现这样太恶心了,干脆就将它们一次过全部读进来,再对不同段落,是否结束,是否忽略进行判断,这样就舒服多了。
时间复杂度:\(O(总长度)\)

URAL 1051

题目描述:有一个无限网格,其中有一个\(n*m\)的石头矩形,石头放在网格中。现在可以任选一个石头,如果它四相邻的某个格子上有石头,则它可以往该方向跳两格,吃掉(移走)越过的石头,任意时刻一个格子中不能有多个石头。问最终最少剩下多少个石头。

solution
假设\(n \leq m\),当\(n<3\)时,显然答案是\((m+1)/2\)。
当\(n\)或\(m\)为\(3\)的倍数,则按下图进行处理:

所以答案是2.
当\(n>3\)且\(n\)不是\(3\)的倍数时,
先处理\(4*4, 5*5, 4*5\)



其它情况先三个三个地消除(像最上面第一个图),最后消成\(4\)或\(5\)行,然后用下面两个方法消列,最终变成\(4*4\)或\(5*5\)或\(4*5\)


所以答案是1.

URAL 1052

题目描述:在平面上有\(n\)个点,在平面上随意画一条直线,问最多穿过多少个点。

solution
两点确定一条直线,枚举两个点,再统计有多少个点在线上。
时间复杂度:\(O(n^3)\)

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