HDU 6125 Free from square (状压DP+背包)

题意：问你从 1 - n 至多选 m 个数使得他们的乘积不能整除完全平方数。

析：首先不能整除完全平方数，那么选的数肯定不能是完全平方数，然后选择的数也不能相同的质因子。

对于1-500有的质因子至多出现一次，有的可能出现多次，比如23，对于一个数最多出现一次，因为出现两次就超出500了。

而对于比较小的质因子，比如2，3，这样的，可以出现多次，这样的话我们就可以分开来计算。

对于出现多次的，一共只有8个，我们可以用状压，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19，

对于最多出现一次的，我们把它的倍数都放到一组去，因为它或者它的倍数最多只能出现一个，当然可以不出现。

然后就可以进行计算了，就是一个背包问题，就是分成了几组，一组是只有质因子的，其他的都是含有较大的质因子。

然后我们可以对每个数进行枚举，然后进行状态转移。

dp[i][s] 表示选 i 个数，状态是 s 有多少种，状态转移也是比较好转移的，我是进行两种转移。

第一种能够完全整除较小质因子的，那么这样的数，只要不出现重复因子，是可以选多次的。

第二种是不能够完全整除较小质因子的，所以每组至少选一个。

转移方程：dp[i+1][s|k] += dp[i][k]  （(k&s) == 0）

对于前面说的分组，对于所有的数据都是成立的，可以先进行预处理。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <assert.h>
#include <sstream>
#define debug() puts("++++");
#define gcd(a, b) __gcd(a, b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)
#define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin)
#define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LNF = 0xffffffffffLL;
const double inf = 0x3f3f3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int maxn = 500 + 10;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int dr[] = {-1, 0, 1, 0};
const int dc[] = {0, 1, 0, -1};
const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};
int n, m;
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
inline bool is_in(int r, int c){
  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;
}

LL dp[maxn][1<<8];
const int p[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
int st[maxn];
vector<int> v[maxn];

void init(){
  for(int i = 1; i <= 500; ++i){
    bool ok = true;
    int x = i;
    for(int j = 0; j < 8 && ok; ++j){
      int cnt = 0;
      while(x % p[j] == 0){
        x /= p[j];  ++cnt;
        st[i] |= 1<<j;
      }
      if(cnt > 1) ok = false;;
    }
    if(ok)  v[x].pb(i);
  }
}

LL solve(){
  ms(dp, 0);
  dp[0][0] = 1;
  int all = 1<<8;
  for(int l = 1; l <= n; ++l){
    if(v[l].empty())  continue;
    if(l == 1){
      for(int i = 0; i < v[l].size() && v[l][i] <= n; ++i){
        int x = v[l][i];
        for(int j = m-1; j >= 0; --j)
          for(int k = 0; k < all; ++k){
            if(k&st[x])  continue;
            dp[j+1][k|st[x]] = (dp[j+1][k|st[x]] + dp[j][k]) % mod;
          }
      }
      continue;
    }
    for(int j = m-1; j >= 0; --j)
      for(int k = 0; k < all; ++k)
        for(int i = 0; i < v[l].size() && v[l][i] <= n; ++i){
          int s = st[v[l][i]];
          if(k&s)  continue;
          dp[j+1][k|s] = (dp[j+1][k|s] + dp[j][k]) % mod;
        }
  }

  LL ans = 0;
  for(int i = 1; i <= m; ++i)
    for(int j = 0; j < all; ++j)
      ans = (ans + dp[i][j]) % mod;
  return ans;
}

int main(){
  init();
  int T;  cin >> T;
  while(T--){
    scanf("%d %d", &n, &m);
    printf("%I64d\n", solve());
  }
  return 0;
}