洛谷P5283 & LOJ3048：[十二省联考2019]异或粽子——题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P5283

https://loj.ac/problem/3048

小粽是一个喜欢吃粽子的好孩子。今天她在家里自己做起了粽子。

小粽面前有 n 种互不相同的粽子馅儿，小粽将它们摆放为了一排，并从左至右编号为 1 到 n。第 ii 种馅儿具有一个非负整数的属性值 a_i。每种馅儿的数量都足够多，即小粽不会因为缺少原料而做不出想要的粽子。小粽准备用这些馅儿来做出 k 个粽子。

小粽的做法是：选两个整数数 l, r，满足 1⩽l⩽r⩽n，将编号在 [l,r] 范围内的所有馅儿混合做成一个粽子，所得的粽子的美味度为这些粽子的属性值的异或和。（异或就是我们常说的 xor 运算，即 C/C++ 中的 ˆ 运算符或 Pascal 中的 xor 运算符）

小粽想品尝不同口味的粽子，因此它不希望用同样的馅儿的集合做出一个以上的 粽子。

小粽希望她做出的所有粽子的美味度之和最大。请你帮她求出这个值吧！

UPD：手痒了于是还是把代码写了……

不要在意我只是突然诈了一个尸。

以及场外选手题解口胡之后看了一下正解发现差不多？

正好一直想要诈一个尸，就用这个诈一个尸吧。

顺（主）便（要）聊聊心路历程。

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看到异或取最大第一眼想到线性基，然后看到连续的数就想到了BZOJ3261：最大异或和 。（天哪我记性真好一年前的东西我还记得）

然而此时并看不出二者的关系。

然后想暴力，枚举$O(n^2)$，但$k$与$n$并非一个数量级的。

于是想到了BZOJ2006：[NOI2010]超级钢琴 对前$k$大值的处理方法。（天哪我记性真好一年前的东西我还记得*2）

而超级钢琴那道题我们是用了st表维护的，但是异或显然不能用st表维护。

那就可持久化trie呗！顺理成章的联系到了一起。

于是题解如下：首先预处理前缀异或和$s$，建立可持久化trie，则原$[l,r]$的异或和即为$s[r] \; xor \; s[l-1]$。

于是固定$l$求$r$使得$s[r] \; xor \; s[l-1]$尽可能的最大（设为$w$吧），然后将这些信息一起扔到堆里面（同时我们把$r$所在的范围$L,R$一起扔里面）。

每次弹出一个$(l,r,w,L,R)$的时候，我们就要找第二大的$[l,r]$扔进去，超级钢琴告诉我们，第二大的$r$一定在$[L,r-1]$和$[r+1,R]$当中，我们干脆把区间分成两份各求一遍直接都扔进去就好了。

复杂度一个建trie$O(nloga_i)$一个预处理$O(nloga_i)$一个弹$O(kloga_i)$。

（老年选手不会算复杂度了不知道对不对orz）

另外洛谷需要开O2

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+;
const int B=;
inline ll read(){
    ll X=,w=;char ch=;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<)+(X<<)+(ch^),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int son[],sum,num;
}tr[*N];
int tot,rt[N],pool;
ll s[N];
void insert(int y,int &x,ll k,int pos,int now){
    tr[x=++pool]=tr[y];tr[x].sum++;
    if(now<){tr[x].num=pos;return;}
    bool p=k&(1LL<<now);
    insert(tr[y].son[p],tr[x].son[p],k,pos,now-);
    return;
}
int query(int nl,int nr,ll k,int now){
    if(now<)return tr[nr].num;
    bool p=k&(1LL<<now);
    int delta=tr[tr[nr].son[p^]].sum-tr[tr[nl].son[p^]].sum;
    if(delta>)return query(tr[nl].son[p^],tr[nr].son[p^],k,now-);
    else return query(tr[nl].son[p],tr[nr].son[p],k,now-);
}
struct data{
    int l,r;
    ll w;
    int L,R;
    bool operator <(data b)const{
        return w<b.w;
    }
};
priority_queue<data>q;
int main(){
    int n=read(),k=read();
    for(int i=;i<=n;i++)s[i]=s[i-]^read();
    for(int i=;i<=n;i++)insert(rt[i-],rt[i],s[i],i,B);
    for(int i=;i<=n;i++){
        int l=i;int r=query(rt[l-],rt[n],s[l-],B);
        q.push((data){l,r,s[r]^s[l-],l,n});
    }
    ll ans=;
    while(k--){
        data tmp=q.top();q.pop();
        ans+=tmp.w;
        int i=tmp.l,j=tmp.r;
        if(tmp.L<=j-){
            int t=query(rt[tmp.L-],rt[j-],s[i-],B);
            q.push((data){i,t,s[t]^s[i-],tmp.L,j-});
        }
        if(j+<=tmp.R){
            int t=query(rt[j],rt[tmp.R],s[i-],B);
            q.push((data){i,t,s[t]^s[i-],j+,tmp.R});
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}

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