重庆市队选拔 CQOI2015 解题报告
文章链接:http://www.cnblogs.com/Asm-Definer/p/4434601.html
题目链接:http://pan.baidu.com/s/1mgxIKli
官方数据:http://pan.baidu.com/s/1qW4wkVE
看巨神们都去虐ZJOI了,蒟蒻只能默默地码着CQOI的题解……
CQOI的难度分布也是挺神奇的,五小时五道题,三(或四)道水题一两道神题(只是对我来说比较神...),我猜让我去考我一定会写不完D题然后滚去备战高考= =
A.选数
题意:
从区间[L, H]中选出N个数(可以重复),求取出的N个数的最大公约数恰好为K的方案数。
其中$1 \leq L, H, N \leq 10^9, H - L \leq 10^5$
分析:
刚开始还以为这是道简单的莫比乌斯反演题,推了半天公式,发现是个依赖$\lfloor H / K \rfloor $的式子
$$\sum_{d=1}^{H/K} \mu(d) (\frac{H}{d*K} - \frac{L-1}{d*K})^N$$(由于LaTeX打取整式太不方便所以这个式子没有考虑细节)当$H/K$很大的时候mu就无法预处理了。
后来衡中的JSX同学(http://55242.cf/)告诉我一个不错的思路:对较小的mu用线性筛预处理,对较大的mu直接暴力分解质因数。而当d比较大的时候会有很多$(\frac{H}{d*K} - \frac{L-1}{d*K})$为0的区间,遇到这些区间就跳转一下就可以了。粘一下他的核心代码:
for(int i = ;i <= R;++ i) { if((R/i) == (L/i)) { i = min((LL)R/(R/i) ,(LL)L / i ? L/(L/i) : INF); continue; } else { ans += (LL)quickpow((R/i)-(L/i),N) * get_mu(i); ans %= mod; } }思路简单,效率也很不错。
不过……有强迫症的同学可能会想……如果这道题表达式的后半部分不是$(\frac{H}{d*K} - \frac{L-1}{d*K})$而只有$\frac{H}{d*K}$,这个式子就不会很快变成0了。这样还是否可做呢?
考虑到在取整后$\frac{H}{d*K}$的取值只有$\sqrt{\frac{H}{K}}$个,如果我们能快速地求出莫比乌斯的前缀和(梅腾斯函数),就可以在$O(1)$的时间内求出一段相等的区间的贡献了。
这个$M(N) = \sum_{i=1}^N \mu(i)$看起来似乎很难的样子……其实我们可以这样转化:
$$M(N)= \sum_{i=1}^N (\sum_{d|i}\mu(d) - \sum_{d|i \land d \neq i}\mu(d) ) \\
= 1 - \sum_{i=1}^N \sum_{d|i \land d \neq i} \mu(d) \\= 1 - \sum_{i'=2}^N \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{N}{i'} \rfloor} \mu(d) \\ = 1 - \sum_{i'=2}^N M(\lfloor \frac{N}{i'}\rfloor)$$这样,我们就只需在预处理出前$10^7$项梅腾斯函数后在处理较大的N时对
$\lfloor \frac{N}{i'}\rfloor$分块递归就可以快速地求出超过$10^7$的梅腾斯函数了。(这个带下取整的递推式复杂度究竟是多少呢……反正我不会分析……不过目测我们需要计算梅腾斯函数的次数非常少,所以这个复杂度已经足够了。
然而……出题人表示我们都太Simple啦,Sometimes Naive!我们观察一下题目中的条件……“$H - L \leq 10^5$"......注意到当N个数不全相同的时候,它们的最大公约数一定不会超过其中任意两个不同数的差。于是……我们只需要将边界除以K后递推”N个数不全相同且最大公因数为i($i \leq 10^5$)"的方案数,最后特判一下N个数都相同的情况,加上递归得到的F(1)就是答案了,复杂度是优美的$(H-L) log (H-L)$。
代码:
2 /**********************By Asm.Def-Wu Jiaxin*****************************/
3 /***********************************************************************/
4 #include <cstdio>
5 #include <cstring>
6 #include <cstdlib>
7 #include <ctime>
8 #include <cctype>
9 #include <algorithm>
#ifdef DEBUG
#include <sys/timeb.h>
#endif
using namespace std;
#define SetFile(x) ( freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout) );
#define getc() getchar()
template<class T>inline void getd(T &x){
char ch = getc();bool neg = false;
while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
x = ch - '';
while(isdigit(ch = getc()))x = x * - '' + ch;
if(neg)x = -x;
}
#ifdef DEBUG
#include <sys/timeb.h>
timeb Tp;
#endif
/***********************************************************************/
const int maxn = , mod = ;
typedef long long LL;
inline int powmod(int a, int n){
int ans = ;
while(n){if(n & )ans = (LL)ans * a % mod;a = (LL)a * a % mod;n >>= ;}
return ans;
}
inline void work(){
int f[maxn], N, K, L, H, i, j, t, *it;getd(N), getd(K), getd(L), getd(H);
L = (L - ) / K;H /= K;
int len = H - L;
for(i = len, it = f + i;i;--i, --it){
t = H / i - L / i;//澶氬皯涓猧鐨勫€嶆暟
*it = (powmod(t, N) + mod - t) % mod;
for(j = i << ;j <= len;j += i)
*it = (*it + mod - f[j]) % mod;
}
if(L <= && H > )++f[];
printf("%d\n", f[]);
}
int main(){
#ifdef DEBUG
freopen("test.txt", "r", stdin);
ftime(&Tp);
time_t Begin_sec = Tp.time, Begin_mill = Tp.millitm;
#elif !defined ONLINE_JUDGE
SetFile(cqoi15_number);
#endif
work();
#ifdef DEBUG
ftime(&Tp);
printf("\n%.3lf sec \n", (Tp.time - Begin_sec) + (Tp.millitm - Begin_mill) / 1000.0);
#endif
return ;
}
A.递推
B.网络吞吐量
题意:
在一个无向网络的最短路径构成的DAG上求最大流。$|V| \leq 500, |E| \leq 100000 $
分析:
似乎不需要分析了,除了最短路+网络流外没有什么其他的东西……
注意到这里的原图是个稠密图,使用$O(|V|^2)$的Dijkstra 可以得到很好的运行效率。
代码:
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 #include <ctime>
5 #include <cctype>
6 #include <algorithm>
7 #include <cmath>
8 using namespace std;
9 #define USEFREAD
10 #ifdef USEFREAD
11 #define InputLen 5000000
12 char *ptr=(char *)malloc(InputLen);
13 #define getc() (*(ptr++))
14 #else
15 #define getc() (getchar())
16 #endif
17 #define SetFile(x) (freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout))
18 template<class T>inline void getd(T &x){
19 char ch = getc();bool neg = false;
20 while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
21 if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
22 x = ch - '';
23 while(isdigit(ch = getc()))x = x * - '' + ch;
24 if(neg)x = -x;
25 }
26 /***********************************************************************/
27 const int maxn = , maxv = ;
28 typedef long long LL;
29 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
30 int S, N, tmp[maxn][maxn], tmpcnt[maxn], val[maxn];
31 LL dis[maxn], G[maxn][maxn];
32 inline void init(){
33 int M, i, u, v, d, *t = val + ;
34 getd(N), getd(M);S = + N;
35 while(M--){
36 getd(u), getd(v), getd(d);LL &e = G[u][v];
37 if(!e || e > d)e = d, G[v][u] = d;
38 }
39 for(i = ;i <= N;++i, ++t)getd(*t);
40 }
41
42 struct Edge{
43 int to, vol;Edge *op;
44 inline void init(int t, int v, Edge *o){to = t, vol = v, op = o;}
45 }adj[maxv][maxn];int adjcnt[maxv];
46
47 inline void AddE(int u, int v, int vol){
48 int &itu = adjcnt[u], &itv = adjcnt[v];
49 adj[u][itu].init(v, vol, adj[v] + itv);adj[v][itv].init(u, , adj[u] + itu);++itu, ++itv;
50 }
51
52 inline void Dij(){
53 memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[] = ;
54 bool tab[maxn] = {}, inS[maxn] = {,};
55 int tablist[maxn], *tabiter = tablist, i, j, v, *it, *tmpt;
56 LL *tmpd, *e, t;
57 for(i = ,e = G[]+,tmpd = dis+;i <= N;++i,++e,++tmpd)if(*e)
58 *(tabiter++) = i, *tmpd = *e, tmp[i][tmpcnt[i]++] = ;
59 for(j = ;j <= N;++j){
60 if(tabiter == tablist)break;
61 t = INF;
62 for(it = tablist;it < tabiter;++it)if(dis[*it] < t)
63 tmpt = it, t = dis[*it];
64 inS[v = *(it = tmpt)] = true;
65 e = G[v] + ;
66 swap(*it, *(--tabiter));
67 for(i = ,tmpd = dis+;i <= N;++i,++e,++tmpd)if(*e && !inS[i]){
68 if(*tmpd > t + *e){
69 *tmpd = t + *e;
70 *tmp[i] = v;tmpcnt[i] = ;
71 if(!tab[i])*(tabiter++) = i, tab[i] = true;
72 }
73 else if(*tmpd == t + *e)
74 tmp[i][tmpcnt[i]++] = v;
75 }
76 }
77 for(i = ;i <= N;++i)for(it = tmp[i] + tmpcnt[i] - ;it >= tmp[i];--it)
78 AddE(*it + N, i, INF);
79 for(i = ;i <= N;++i)AddE(i, i + N, val[i]);
80 }
81
82 int dep[maxv], curadj[maxv];
83 LL dfs(int cur, LL f){
84 if(cur == N)return f;
85 LL d = dep[cur], ans = , t;
86 int &adjit = curadj[cur];
87 Edge *it;
88 for(;adjit < adjcnt[cur];++adjit)if((it = adj[cur]+adjit)->vol && dep[it->to] == d + ){
89 t = dfs(it->to, min(f, (LL)it->vol));
90 it->vol -= t, it->op->vol += t, ans += t, f -= t;
91 if(!f)return ans;
92 }
93 return ans;
94 }
95 #include <queue>
96 inline bool bfs(){
97 memset(curadj, , sizeof(curadj));
98 queue<int> Q;bool vis[maxv] = {};vis[S] = true;
99 Q.push(S);
int v;LL d;
Edge *it, *end;
while(!Q.empty()){
v = Q.front();Q.pop();d = dep[v];
for(it = adj[v],end = it + adjcnt[v];it < end;++it)if(it->vol && !vis[it->to])
dep[it->to] = d + , Q.push(it->to), vis[it->to] = true;
}
return vis[N];
}
int main(){
#ifdef DEBUG
freopen("test.txt", "r", stdin);
#else
SetFile(cqoi15_network);
#endif
#ifdef USEFREAD
fread(ptr,,InputLen,stdin);
#endif
init();
Dij();
LL ans = ;
while(bfs())
ans += dfs(S, INF);
printf("%lld\n", ans);
#ifdef DEBUG
printf("\n%.3lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
return ;
}
dijkstra+dinic
C.任务查询系统
题意:
给出n个区间,每个区间有一个权值$P_i$;共m次询问,每次询问覆盖$x_i$点的所有区间中权值最小的$K_i$个区间的权值和。数据规模 $\leq 10^5$
分析:
很经典的可持久化线段树的模型。对所有权值离散化后在所有点构造可持久化线段树,询问时对线段树做区间查询。
代码:
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 #include <ctime>
5 #include <cctype>
6 #include <algorithm>
7 #include <cmath>
8 using namespace std;
9 #define USEFREAD
10 #ifdef USEFREAD
11 #define InputLen 4000000
12 char *ptr=(char *)malloc(InputLen);
13 #define getc() (*(ptr++))
14 #else
15 #define getc() (getchar())
16 #endif
17 #define SetFile(x) (freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout))
18 template<class T>inline void getd(T &x){
19 char ch = getc();bool neg = false;
20 while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
21 if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
22 x = ch - '';
23 while(isdigit(ch = getc()))x = x * - '' + ch;
24 if(neg)x = -x;
25 }
26 /***********************************************************************/
27 const int maxn = ;
28 typedef long long LL;
29 struct Event{bool Add;int Time, P;}E[maxn << ], *Eend = E;
30 inline bool operator < (const Event &a, const Event &b){return a.Time < b.Time;}
31
32 int Plist[maxn], *Pend = Plist;
33 #define id(x) (lower_bound(Plist, Pend, x) - Plist)
34
35 struct SegT *Pool;
36 struct SegT{
37 int L, R, cnt, mid;
38 LL Sum;
39 SegT *ls, *rs;
40 inline void init(int l, int r){
41 L = l, R = r, mid = (L + R) >> ;
42 if(r - l == )return;
43 ls = Pool++;rs = Pool++;
44 ls->init(L, mid), rs->init(mid, R);
45 }
46 void Add(int i, int d){
47 if(R - L == ){cnt += d;Sum += Plist[L] * d;return;}
48 SegT *t = Pool++;
49 if(i < mid)*t = *ls, t->Add(i, d), ls = t;
50 else *t = *rs, t->Add(i, d), rs = t;
51 cnt += d;Sum += d * Plist[i];
52 }
53 LL Query(int K){
54 if(R - L == )return (LL)K * Plist[L];
55 if(K >= cnt)return Sum;
56 if(K <= ls->cnt)return ls->Query(K);
57 return ls->Sum + rs->Query(K - ls->cnt);
58 }
59 }Root[maxn * ];
60
61 inline int init(){
62 int i, M, N, L, R, P;
63 Event *it;
64 getd(M), getd(N);
65 Pool = Root + N + ;
66 while(M--){
67 getd(L), getd(R), getd(P);
68 *(Pend++) = P;
69 *(Eend++) = (Event){true, L, P};
70 *(Eend++) = (Event){false, R + , P};
71 }
72 Eend->Time = maxn;
73 sort(E, Eend);
74 sort(Plist, Pend);
75 Root->init(, Pend - Plist);
76 SegT *u = Root, *v = Root + ;
77 for(i = , it = E;i <= N;++i){
78 *(v++) = *(u++);
79 while(it->Time == i){
80 u->Add(id(it->P), * it->Add - );
81 ++it;
82 }
83 }
84 return N;
85 }
86
87 int main(){
88 #ifdef DEBUG
89 freopen("test.txt", "r", stdin);
90 #else
91 SetFile(cqoi15_query);
92 #endif
93 #ifdef USEFREAD
94 fread(ptr,,InputLen,stdin);
95 #endif
96
97 int X, A, B, C, N;
98 LL Pre = ;
99 N = init();
while(N--){
getd(X), getd(A), getd(B), getd(C);
Pre = Root[X].Query((Pre * A + B) % C + );
printf("%lld\n", Pre);
}
#ifdef DEBUG
printf("\n%.3lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
return ;
}
可持久化线段树
D.多项式
题意:
已知整数$n, t, a_k(1 \leq k \leq n), m,$ 求出能使$$\sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=1}^n b_k (x-t)^k $$的b数列的第m项。
其中 $a_k$满足递推式:$$k = 0时,a_k = 1;k > 0时,a_k = (1234*a_{k-1} + 5678) \mod 3389$$.
其中 $0 < n \leq 10^{3000}, 0 \leq t \leq 10000, 0 \leq n-m \leq 5.$
分析:
天哪……为何这位出题人这么喜欢加这么奇怪的数据范围限制……
首先,对于多项式来说,这个x的取值是任意的。所以我们可以用x+t替换x代入条件,得到
$$\sum_{k=0}^n a_k (x + t)^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k$$
$$ \sum_{k=0}^n b_k x^k = \sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0}^k \tbinom{j}{k} x^j t^{k-j} $$
考虑枚举k-j的值:$$\sum_{k=0}^n b_k x^k=\sum_{i=0}^n \sum_{d=0}^{n-i} a_{i+d} \tbinom{i}{i+d} t^d x^i $$
对齐每一项的系数,得到:
$$b_m = \sum_{d=0}^{n-m} a_{m+d} \frac{(m+d)! t^d}{m!d!}$$
注意到n-m不超过5,我们可以先得出$a_m$的值,递推(n-m)次把答案加起来即可。
考虑到n和m都可以很大,这里在求$a_m$的值时要用到10-based的矩阵快速幂。
代码:
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 #include <ctime>
5 #include <cctype>
6 #include <algorithm>
7 #include <cmath>
8 using namespace std;
9 //#define USEFREAD
10 #ifdef USEFREAD
11 #define InputLen 1000000
12 char *ptr=(char *)malloc(InputLen);
13 #define getc() (*(ptr++))
14 #else
15 #define getc() (getchar())
16 #endif
17 #define SetFile(x) (freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout))
18 template<class T>inline void getd(T &x){
19 char ch = getc();bool neg = false;
20 while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
21 if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
22 x = ch - '';
23 while(isdigit(ch = getc()))x = x * - '' + ch;
24 if(neg)x = -x;
25 }
26 /***********************************************************************/
27 typedef unsigned uint;
28 const uint mod = , maxn = , base = ;
29 uint t, dmax, An;
30
31 struct BigNum;
32 /********************************************
33 ***************高精度模板略****************
34 ********************************************/
35
36 struct Mat{uint a, b, c, d;Mat(uint w,uint x,uint y,uint z):a(w),b(x),c(y),d(z){}}F(,,,);
37 inline void operator *= (Mat &x, const Mat &y){
38 uint a = (x.a * y.a + x.b * y.c) % mod,
39 b = (x.a * y.b + x.b * y.d) % mod,
40 c = (x.c * y.a + x.d * y.c) % mod,
41 d = (x.c * y.b + x.d * y.d) % mod;
42 x = Mat(a, b, c, d);
43 }
44
45 inline Mat powmod(Mat a, uint n){
46 Mat ans(,,,);
47 while(n){
48 if(n & )ans *= a;
49 a *= a;
50 n >>= ;
51 }
52 return ans;
53 }
54 inline Mat powmod(Mat a, const BigNum &n){
55 //其实应该叫“万进制快速幂”……23333
56 const int *it = n.a, *end = it + n.len;
57 Mat ans(,,,);
58 while(it < end){
59 if(*it)ans *= powmod(a, *it);
60 a = powmod(a, base);
61 ++it;
62 }
63 return ans;
64 }
65
66 inline void init(){
67 cin >> N;getd(t);cin >> M;
68 int tmp = *N.a - *M.a;if(tmp < )tmp += base;
69 dmax = tmp;
70 Mat tf = powmod(F, M);
71 An = (tf.a + tf.c) % mod;
72 }
73
74 inline void work(){
75 BigNum Ans = An;
76 uint d;
77 for(d = ;d <= dmax;++d){
78 fd = (fd * (M + d) * t) / d;
79 An = (An * + ) % mod;
80 Ans = Ans + fd * An;
81 }
82 Ans.print();
83 }
84
85 int main(){
86 #ifdef DEBUG
87 freopen("test.txt", "r", stdin);
88 #else
89 SetFile(cqoi15_polynomial);
90 #endif
91 #ifdef USEFREAD
92 fread(ptr,,InputLen,stdin);
93 #endif
94
95 init();
96 work();
97
98 #ifdef DEBUG
99 printf("\n%.3lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
return ;
}
高精度+十进制矩阵快速幂
E.标识设计
题意:
分析:
我真的是昨天才知道这个“标识”的“识”应该念zhi(4)……我真是文盲……
思路是轮廓线dp,dp状态记录扫描到某个位置时“是否需要连接左边的方格”,“当前已经放下了多少个L”和当前的轮廓。(这里“轮廓”的含义是有哪些列需要连接上方垂下来的竖直线)。由于任意状态垂下来的竖直线最多只有3条,轮廓的状态数很少(暴力枚举一下发现只有4090左右),可以利用离散化减少压位的数量。
但以我极差的代码能力实在卡不进1s的时间限制……看了这位神犇的博客之后才知道上述的状态中“不合法状态”和“不可能到达的状态”都很多,所以用记忆化搜索来实现可以大大缩短枚举的时间。
代码:
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 #include <ctime>
5 #include <cctype>
6 #include <algorithm>
7 #include <cmath>
8 using namespace std;
9 #define USEFREAD
#ifdef USEFREAD
#define InputLen 1000
char CHARPOOL[InputLen], *ptr=CHARPOOL;
#define getc() (*(ptr++))
#else
#define getc() (getchar())
#endif
#define SetFile(x) (freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout))
template<class T>inline void getd(T &x){
char ch = getc();bool neg = false;
while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
x = ch - '';
while(isdigit(ch = getc()))x = x * - '' + ch;
if(neg)x = -x;
}
/***********************************************************************/
typedef long long LL;
LL f[][][][][], Ans;//f[放了几个][列覆盖状态][是否要向右延伸][x][y] = 方案数
int N, M, ST[], Scnt = ;
#define id(x) (lower_bound(ST, ST + Scnt, x) - ST)
#define bin(x) (1 << x)
bool G[][];
inline void init(){
getd(N), getd(M);
memset(f, -, sizeof(f));
int i, j, k;
for(i = ;i < N;++i){
while((k = getc()) != '.' && k != '#');
for(j = ;j < M;++j){
G[i][j] = (k == '#');
k = getc();
}
}
for(i = ;i+ < M;++i){
ST[Scnt++] = bin(i);
for(j = ;j < i;++j){
ST[Scnt++] = bin(i) | bin(j);
for(k = ;k < j;++k)ST[Scnt++] = bin(i) | bin(j) | bin(k);
}
}
}
LL dp(bool lk, int cnt, int i, int j, int St){
LL &ans = f[cnt][St][lk][i][j];
if(~ans)return ans;
ans = ;
if(i == N)return ans = (!lk && !St && !cnt);
if(j == M){if(!lk)ans = dp(,cnt,i+,,St);return ans;}
register int b = bin(j), st = ST[St];
if(lk && (b & st))return ;
if(lk){//from left
if(G[i][j])return ;
return ans = dp(,cnt,i,j+,St) + dp(,cnt,i,j+,St);
}
if(b & st){//from above
if(G[i][j])return ;
return ans = dp(,cnt,i,j+,id(st^b)) + dp(,cnt,i,j+,St);
}
ans = dp(,cnt,i,j+,St);//skip
if(!G[i][j] && cnt && j+ < M)ans += dp(,cnt-,i,j+,id(st^b));// new
return ans;
}
int main(){
#ifdef DEBUG
freopen("test.txt", "r", stdin);
#else
SetFile(cqoi15_logo);
#endif
#ifdef USEFREAD
fread(ptr,,InputLen,stdin);
#endif
init();
printf("%lld\n", dp(,,,,));
#ifdef DEBUG
printf("\n%.3lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
return ;
}
轮廓线dp(用记忆化搜索实现)
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