LGP2233题解

题目大意

求环上走 \(n\) 步从指定点到达另一指定点，到达指定点后 不得继续移动。

大家都做过P1057传球游戏吧？还记得这道题的思路吗？

设 \(dp[i][j]\) 表示传 \(i\) 次求传到 \(j\) 的手上的方案数，那么

\[dp[i][j]=dp[i-1][(j-1)]%n+1+dp[i-1][(j+1)%n+1]
\]

此题类似，\(n\) 即可。

不过这样得不了全分。我们从维度来入手，优化转移。

可以看出，第二维度几乎不可优化，只能从第一维度入手。

恩，这次只和上一次有关。。。矩阵快速幂！

到这里了，该怎么构造矩阵呢？

首先观察矩阵乘法的计算方法：

\[a_{i,j}=\sum_{k=1}^nb_{i,k} \times c_{k,j}
\]

也就是行乘列qwq

对于非第一行的元素，那一行全是 \(0\)，乘上一个列还是 \(0\)，重点观察第一行。（这里把第一个矩阵和第二个矩阵转化成一个 \(1 \times n\) 的矩阵以方便观察）

\[a_i=\sum_{k=1}^n b_{i,k} c_k
\]

唉这是不是有点儿像无向图，有边就走，没边就不走？

是的！

所以能够构造出如下转移矩阵：

\[\begin{gathered}
\begin{matrix}
0&1&0&0&0&0&0&0\\
1&0&1&0&0&0&0&0\\
0&1&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&1&0&0\\
0&0&0&0&1&0&1&0\\
0&0&0&0&0&1&0&1\\
0&0&0&0&0&0&1&0\\
\end{matrix}
\quad
\end{gathered}
\]

因为 \(4\) 不能转移，所以$ 4 $那一行全是 \(0\)QAQ

代码就不用贴了吧QAQ，蓝题都会做的dalao怎么不会把我们乘起来呢QAQAQ