LeetCode HOT 100：乘积最大子数组（动态规划）

题目：152. 乘积最大子数组

题目描述：

给你一个整数数组，在该数组的所有子数组中，找到一个子数组中所有元素相乘积最大，返回这个最大的积。子数组就是一个数组中，由一个或几个下标连续的元素，组成的小数组，就叫原数组的子数组。

思路：

这一题和题目：53. 最大子数组和很像。但是又复杂了一点。所以建议先搞懂53题，再来看这道题。在53题曾经说过求子数组问题，都可以向一种思维上靠拢。即以某一个元素为结尾的子数组中，得到一个结果。然后以每一个元素都作为结尾，得到很多个结果，然后在这些结果中进行比较，一定得到正确的结果。

而本题和加法又不太一样，加法比如说想找到以每一个元素为结尾的子数组的最大和，只需要前一个元素为结尾的子数组最大和能拿到，就可以得到该元素为结尾的子数组的最大和。

举个例子：加法中，数组为nums，想要得到下标i为结尾的子数组的最大和X，只需要得到下标i-1为结尾的子数组的最大和Y，然后选择要不要加上nums[i]就可以得到了。即 X = Math.max(nums[i], Y + nums[i])。即最大值只会出现在nums[i]和Y + nums[i]中选择。

但是乘法不一样，乘法会有负负得正。乘积最大值，不仅会出现在nums[i]、Y * nums[i]中。如果nums[i]是负值，下标i-1为结尾的子数组的最小乘积M，nums[i] * M也可能是乘积最大值。

举个例子：[100, 6, -2, -3]，以-3结尾的子数组的最大乘积就是-3 * -1200(以-2为结尾的子数组的最小乘积) = 3600。

所以，乘积需要得到两个结果，以某一下标结尾的子数组中最大乘积以及最小乘积。

步骤：

1、初始化动态规划数组，以0下标结尾的子数组最大乘积、最小乘积都是nums[0]本身

2、在循环中，通过i - 1的最大乘积和最小乘积，结合公式，得到三条数据，三者进行比较，得到i的最大乘积和最小乘积，更新dp数组，以及判断最大乘积是否需要更新

3、循环结束后，返回最大乘积

代码：

未优化空间的动态规划版本

    public int maxProduct(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] dpMax = new int[n];
        int[] dpMin = new int[n];

        // 记录以 0 为结尾的子数组的最大累乘积和最小累乘积
        dpMax[0] = nums[0];
        dpMin[0] = nums[0];
        int ans = nums[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            // 记录三种可能性
            int p1 = nums[i];
            int p2 = nums[i] * dpMax[i - 1];
            int p3 = nums[i] * dpMin[i - 1];

            // 从三种可能性中取最大累乘积和最小累乘积
            int curMax = Math.max(p1, Math.max(p2, p3));
            int curMin = Math.min(p1, Math.min(p2, p3));
            // 将最大累乘积与ans比较
            ans = Math.max(ans, curMax);

            // 更新以 i 为结尾的子数组的最大累乘积和最小累乘积
            dpMax[i] = curMax;
            dpMin[i] = curMin;
        }

        return ans;
    }

空间优化代码

    // 因为dp[i]只和dp[i - 1]有关，所以可以优化空间
    public int maxProduct(int[] nums) {
        // 记录以 0 为结尾的子数组的最大累乘积
        int preMax = nums[0];
        // 记录以 0 为结尾的子数组的最小累乘积
        int preMin = nums[0];
        int ans = nums[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            // 记录三种可能性
            int p1 = nums[i];
            int p2 = nums[i] * preMax;
            int p3 = nums[i] * preMin;

            // 从三种可能性中取最大累乘积和最小累乘积
            int curMax = Math.max(p1, Math.max(p2, p3));
            int curMin = Math.min(p1, Math.min(p2, p3));
            // 将最大累乘积与ans比较
            ans = Math.max(ans, curMax);

            // 更新以 i 为结尾的子数组的最大累乘积和最小累乘积
            preMax = curMax;
            preMin = curMin;
        }

        return ans;
    }