NYoj_104最大和

最大和

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难度：5

描述

给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。 

例子：

0 -2 -7 0 

9
2 -6 2 

-4
1 -4 1 

-1 8 0 -2 

其最大子矩阵为：

9
2 

-4
1 

-1
8 

其元素总和为15。

输入

第一行输入一个整数n（0<n<=100）,表示有n组测试数据；

每组测试数据：

第一行有两个的整数r，c（0<r,c<=100），r、c分别代表矩阵的行和列；

随后有r行，每行有c个整数；

输出

输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。

样例输入

1
4 4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

样例输出

15

算法分析：二维数组求最大和，本题可以转换成为一维。

1. 将行划分，划分的结果为所有情况

2.将划分好的“新行”进行合并成“一行”，

3.对“一行”进行一维的求最大子段和

举个例子：

0  -2  -7  0

9   2  -6  2

-4  1  -4   7

-1  8  0   -2

我们分别用i j表示起始行和终止行，遍历所有的可能：

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=i;j<=n;j++) {}

我们考察其中一种情况 i=2 j=4，这样就相当与选中了2 3 4三行，求那几列的组合能获得最大值，由于总是 2 3 4行，所以我们可以将这3行”捆绑”起来，变为求 4(9-4-1),11(8+2+1),-10(-6-4+0),7(7+2-2)的最大子段和，ok，问题成功转化为一维的情况！

注意：代码中还有一个地方需要注意，就是读入原始数据的时候，要处理一下，再保存到数组中，每一行的数据都不是原来的数据，而是加上同一列以上各行的数据，这样以来，在合并求和的时候就比较方便了。比如求2，3两行的和，只要第三行的值减去第一行的值就行了

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[110][110], b[110];
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))

int Max_sum(int b[], int c) {
	int sum = 0, res = -9999999;
	for (int i = 1; i<=c; i++) {
		if (sum > 0)	sum += b[i];
		else	sum = b[i];
		if (sum > res)	res = sum;
	}
	return res;
}

int main() {
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while (t --) {
		mem(a);
		mem(b);
		int r, c;
		scanf("%d%d",&r, &c);
		for (int i = 1; i<=r; i++) {
			for (int j = 1; j<=c; j++) {
				scanf("%d",&a[i][j]);
				a[i][j] += a[i-1][j];
			}
		}
		int res = -9999999;
		for (int i = 0; i<=r; i++) {
			for (int j = i+1; j<=r; j++) {
				for (int k = 1; k<=c; k++) {
					b[k] = a[j][k] - a[i][k];
				}
				int Max = Max_sum(b, c);
				if (res < Max)	res = Max;
			}
		}
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}