LOJ3120. 「CTS2019」珍珠 [容斥，生成函数]

传送门

思路

非常显然，就是要统计有多少种方式使得奇数的个数不超过\(n-2m\)。（考场上这个都没想到真是身败名裂了……）

考虑直接减去钦点\(n-2m+1\)个奇数之后的方案数，但显然这样会算重，所以考虑容斥。

设\(f_k\)表示至少有\(k\)个为奇数的方案数。

那么有

\[\begin{align*}
f_k&={D\choose k}{n!}[x^n](\frac{e^x-e^{-x}}{2})^k e^{(D-k)x}\\
&={D\choose k}\frac{1}{2^k}{n!}[x^n]({e^x-e^{-x}})^k e^{(D-k)x}
\end{align*}
\]

考虑后面的部分用二项式定理暴力拆开，得到

\[\begin{align*}
&[x^n]({e^x-e^{-x}})^k e^{(D-k)x}\\
=&[x^n]\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{k-i}e^{ix}e^{-(k-i)x}e^{(D-k)x}\\
=&[x^n]\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{k-i}e^{(D+2i-2k)x}\\
=&[x^n]\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{i}e^{(D-2i)x}\\
=&\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^i(D-2i)^n
\end{align*}
\]

所以

\[f_k={D\choose k}\frac{1}{2^k}k!\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i(D-2i)^n}{i!}\frac{1}{(k-i)!}
\]

显然是一个卷积的形式，用NTT在\(O(D\log D)\)的时间内求出。

然后设\(g_k\)为恰好有\(k\)个奇数的方案数，有

\[f_k=\sum_{i=k}^D {i\choose k}g_i
\]

二项式反演得到

\[g_k=\sum_{i=k}^D (-1)^{i-k}{i\choose k}f_i
\]

显然也可以把组合数拆开之后NTT解决，复杂度同样\(O(D\log D)\)。

最后答案就是\(\sum_{i\le n-2m} g_i\)，特判\(D\le n-2m\)时输出\(D^n\)，就做完了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 804040
    #define mod 998244353ll
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
    inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
        if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
        while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
        while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifdef NTFOrz
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int r[sz],limit;
void NTT_init(int n)
{
	limit=1;int l=-1;
	while (limit<=n+n) limit<<=1,++l;
	rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
void NTT(ll *a,int type)
{
	rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
	{
		ll Wn=ksm(3,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);
		for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)
		{
			ll w=1;
			for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)
			{
				ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*w%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if (type==1) return;
	ll I=inv(limit);
	rep(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*I%mod;
}

int D,n,m;
ll fac[sz],_fac[sz];
void init(){_fac[0]=fac[0]=1;rep(i,1,sz-1) _fac[i]=inv(fac[i]=fac[i-1]*i%mod);}

ll tmp1[sz],tmp2[sz];
ll f[sz],g[sz];
void GetF()
{
	rep(i,0,D) tmp1[i]=ksm(D-i*2,n)*_fac[i]%mod*((i&1)?mod-1:1ll)%mod;
	rep(i,0,D) tmp2[i]=_fac[i];
	NTT_init(D);
	NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
	NTT(tmp1,-1);
	rep(i,0,D) f[i]=fac[D]*_fac[i]%mod*_fac[D-i]%mod*ksm(2,mod-1-i)%mod*fac[i]%mod*tmp1[i]%mod;
	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp2[i]=0;
}
void GetG()
{
	rep(i,0,D) tmp1[i]=f[i]*fac[i]%mod;
	rep(i,0,D) tmp2[i]=(((D-i)&1)?mod-1:1ll)*_fac[D-i]%mod;
	NTT_init(D+D);
	NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
	NTT(tmp1,-1);
	rep(i,0,D) g[i]=_fac[i]*tmp1[D+i]%mod;
	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp2[i]=0;
}

int main()
{
    file();
	read(D,n,m);
	if (D<=n-2*m) return printf("%lld\n",ksm(D,n)),0;
	if (n<2*m) return puts("0"),0;
	init();
	GetF();GetG();
	ll ans=0;
	rep(i,0,n-2*m) (ans+=g[i])%=mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}