BZOJ.2118.墨墨的等式(思路 最短路Dijkstra 按余数分类)
题意可以看做,用\(a_1,a_2,...,a_n\),能组成多少个\([L,R]\)中的数。
(40分就是个完全背包)
首先如果\(k*a_i+x\)可以组成,那么\((k+1)*a_i+x\)自然也可以组成(\(k\geq 0,0\leq x<a_i\))。
即我们选取一个\(a_i\)做模数,若\(d\equiv x(mod\ a_i)\),则\(d+a_i\equiv x(mod\ a_i)\),那么对于当前余数\(x\)我们可以算出\([0,R]\)中有多少个数模\(a_i\)为\(x\)(只能由\(d\)每次加\(a_i\))。对于所有余数算一次就能得到答案。
另外这个\(d\)需要是满足模\(a_i\)为\(x\)的最小的数(用\(n\)个数组合得到)。考虑如何对每个余数求这个\(d\)。
因为每次是枚举\(n\)个数转移(加上再取模),且状态可以用数组存,要求最小,联想到最短路。
\(dis[x]\)表示满足模\(a_i\)为\(x\)的能组成的最小的数。那么余数为\(0\)的最小的数自然是\(0\),即\(dis[0]=0\)。然后SPFA或Dijkstra。
至于\(a_i\),取最小的吧。这样图中的点数自然最少。(当然取哪个是任意的,因为最后统计答案时的\(a_i\)也是这个\(a_i\))
如果物品有下限限制,可以把边界先减掉,再这么求。
//9480kb 1792ms(慢啊→_→)
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<LL,int>
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;
int n,mod,A[N];
LL dis[N];
std::priority_queue<pr> q;
inline LL read()
{
LL now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
void Dijkstra()
{
static bool vis[N];
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
dis[0]=0, q.push(mp(0,0));
while(!q.empty())
{
int x=q.top().second; q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(int i=1,v; i<=n; ++i)
if(dis[v=(x+A[i])%mod]>dis[x]+A[i])
q.push(mp(-(dis[v]=dis[x]+A[i]),v));
}
}
inline LL Calc(LL x)
{
LL ans=0;
for(int i=0; i<mod; ++i)
if(dis[i]<=x) ans+=(x-dis[i])/mod+1;//还有个dis[i]
return ans;
}
int main()
{
n=read(); LL L=read(),R=read();
int cnt=0; mod=N;
for(int i=1; i<=n; ++i)
if(!(A[++cnt]=read())) --cnt;//忽略0
else mod=std::min(mod,A[cnt]);
n=cnt, Dijkstra();
printf("%lld\n",Calc(R)-Calc(L-1));
return 0;
}
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