最短路径：Dijkstra & Floyd 算法图解，c++描述
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td{border: 1px solid gray; padding: 4px;}
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| V0→V1 1 V0→V1→V2 4 V0→V1→V2→V4 5 V0→V1→V2→V4→V3 7 V0→V1→V2→V4→V3→V6 10 V0→V1→V2→V4→V3→V6→V7 12 V0→V1→V2→V4→V3→V6→V7→V8 16 |
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| 在求最短路径的过程中，V0到图中所有路径的最短距离都计算过了一遍，只要保存中间结果就可以在求V0→V8的最短路径的同时得到V0到图中任意点的距离
isInShortestPath数组标记对应下标顶点是不是已经计算在最短路径内了 pathPre数组标记对应下标顶点在最短路径的前驱结点是谁，这个结点和weight数组对应，如下表算法开始 weight数组标记当前最短路径到对应下标顶点的最短路径，∞就是到不了了 |
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//算法开始，选中V0顶点开始遍历找最短路径
|
//第一次遍历找到(0,1)，加入顶点1，1可以到达未加入最短路径的顶点2,3,4; 更新数组
//V1->V2 = 4 < 5,更新 依次类推更新weight[3] weight[4]
|
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//下一次遍历就会选中V2,(1,2),加入顶点2
weight[2]+(2,4)=5
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//加入weight最小的，且没有加入到最短路径中的顶点4(2,4)
weight[4] = 5,能到达3,5,6,7
|
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//没加入的3,5,6,7,8中选一条最小权值的边，选择顶点3，（4,3）
weight[3] = 7,3只能到没到过的6,7+(3,6)=10,weight[6]=11,更新
|
//5,6,7,8中选一个weight最小的5
weight[5]=8,5能到为加入最短路径的7 ; weight[5]+(5,7)=13<weight[7],更新
|
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//没加入的6,7,8中选一个最小的6
weight[6]=10,(6,7)=2,(6,8)=7;
|
//没加入的7,8中选一个最小的7, weight[7]=12
weight[7]=12,(7,8)=4
|
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//加入最后一个结点8
|
在整个图的遍历搜寻中，从V0顶点到每一个其他顶点的最短距离都在这个过程中保存在weight数组中。 要找到两个点之间的最短路径，只要通过pathPre数组找前驱就好了 |
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|
/* Dijksta.cpp /
#include"Dijkstra.h"
namespace meihao
{
void ShortestPath_Dijkstra(const meihao::Graph& g,int pathPre,weight_vaule_type* weight,int vertexCnt)
{
if(nullptr==pathPre||nullptr==weight||0==vertexCnt)
return ;
//定义一个数组标记每个结点是否已经在最短路径中
int* isInShortestPath = new intvertexCnt; //初始为0，表示都还没有在最短路径之中
//默认从图中第0个结点开始，初始化weight，表示0到其他结点的最短路径
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
{
weight[idx] = g.getGraphEdgeWeight(0,idx); //weight[idx]存放的就是0到idx的权值
pathPre[idx] = 0; //weight最开始用0到对应下标的距离来初始化，所以pathPre只能全部是0了
}
//计算V0到其他结点的最短路径
isInShortestPath[0] = 1;
for(int idx=1;idx!=vertexCnt;++idx) //V0已经在路径中，只要从下一个顶点开始
{
int min = max_weight_value;
int nextShortestPathVertex = 0; //下一个可以加到最短路径上的顶点
//开始遍历weight数组找到一条从V0顶点到对应数组小标顶点的最有最小权值的边，并记录边的另一端顶点
for(int iidx=0;iidx!=vertexCnt;++iidx)
{
if(0==isInShortestPath[iidx]&&
weight[iidx]<min)
{
nextShortestPathVertex = iidx;
min = weight[iidx];
}
}
//找到了个可以加入到最短路径的顶点
isInShortestPath[nextShortestPathVertex] = 1; //修改nextShortestPathVertex为1
//得到了一个点，通过这个点可以到一些其他顶点，这是后可能路径又会有变化
//加入nextShortestPathVertex，更新weight数组
for(int iiidx=0;iiidx!=vertexCnt;++iiidx)
{
/if(0==isInShortestPath[iiidx]&&
(weight[nextShortestPathVertex]+g.getGraphEdgeWeight(nextShortestPathVertex,iiidx))<weight[iiidx]) /
//这里错误的原因是有的weigth是weight_vaule_type能表示的最大值，再加就溢出了
if(0==isInShortestPath[iiidx] &&
g.getGraphEdgeWeight(nextShortestPathVertex,iiidx) !=max_weight_value && //多一个条件，防止溢出，也就是(nextShortestPathVertex,iiidx)之间有边的顶点
(weight[nextShortestPathVertex]+g.getGraphEdgeWeight(nextShortestPathVertex,iiidx) ) < weight[iiidx] )
//如果新加入最短路径的点到其他没有标记到最短路径中的点idx的权值小于之前某点到idx的权值，就可以更新这个权值
{
weight[iiidx] = weight[nextShortestPathVertex]+g.getGraphEdgeWeight(nextShortestPathVertex,iiidx);
pathPre[iiidx] = nextShortestPathVertex;
}
}
}
}
void printShortestPath(int vi,int vj,int* pathPre,int vertexCnt)
{
if(nullptr==pathPre||0==vertexCnt||vi<0||vj<0||vi>vj||vi>=vertexCnt||vj>=vertexCnt)
return ;
if(vi==vj)
{
cout<<vi<<" ";
return ;
}
printShortestPath(vi,pathPre[vj],pathPre,vertexCnt);
cout<<vj<<" ";
}
};
|
/* Dijkstra.h /
#ifndef DIJKSTRA_H
#define DIJKSTRA_H
#include"Graph.h"
namespace meihao
{
void ShortestPath_Dijkstra(const meihao::Graph& g,int pathPre,weight_vaule_type* weight,int vertexCnt); //参数pathPre数组是用来存放计算得到到图中某一点的最短路径前驱
//pathPre[2] = 1,表示V2到V1的最短路径中,V2前面一个点是V1, ...V1->V2...
//weight是存放指定的一个开始遍历的到对应数组小标的点的权值。eg:图中起始的点V0，weight[2] = N,表示V0到V2的最短路径权值和为N
//定义一个函数输出指定两点之间的最短路径和权值和
void printShortestPath(int vi,int vj,int* pathPre,int vertexCnt);
};
#endif
/* testmain.cpp /
#include"Graph.h"
#include<iostream>
#include"Dijkstra.h"
using namespace std;
int main()
{
meihao::Graph g("data.txt");
int vertexCnt = g.getGraphVertexNumber();
int pathPre = new intvertexCnt;
weight_vaule_type* weight = new weight_vaule_typevertexCnt;
meihao::ShortestPath_Dijkstra(g,pathPre,weight,vertexCnt);
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
{
meihao::printShortestPath(0,idx,pathPre,vertexCnt);
cout<<"路径权值："<<weight[idx];
cout<<endl;
}
cout<<endl;
cout<<"图的起始顶点0到终点8的最短路径：";
meihao::printShortestPath(0,8,pathPre,vertexCnt);
cout<<" 路径权值："<<weight[8]<<endl;
delete []pathPre;
delete []weight;
system("pause");
}
/* data.txt /
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 5 -1 -1 -1 -1 -1 -1
1 0 3 7 5 -1 -1 -1 -1
5 3 0 -1 1 7 -1 -1 -1
-1 7 -1 0 2 -1 3 -1 -1
-1 5 1 2 0 3 6 9 -1
-1 -1 7 -1 3 0 -1 5 -1
-1 -1 -1 3 6 -1 0 2 7
-1 -1 -1 -1 9 5 2 0 4
-1 -1 -1 -1 -1 -1 7 4 0
|
| 图中D-1矩阵是存放的图的临界矩阵，对应的P-1矩阵是存放对应顶点的前驱顶点矩阵。 eg:p[V1][V0]=0,(V1,V0),只能是0; p[V1][V1]=1,(V1,V1); p[V1][V2]=2,(V1,V2) 这是 初始，现以V0为中间顶点更新两个矩阵： (V1,V0)不变，(V1,V1)不变，(V1,V2)->V1,V0,V2 = 3,之前为5，更新 所以更新两个矩阵，p[V1][V2]=0，表示(V1,V2)最短路径中V2前一个结点是V0,对应的D[V1][V2]=3。这时候的矩阵为P0，D0。
|
| //以V0为中间顶点，所有点(Vi,Vj)经过V0求路径，确定是否要更新 //和初始矩阵一样，没有变化
|
//以V1为中间顶点，所有点(Vi,Vj)经过V1求路径，确定是否要更新 //之后的每次更新都是在前面得到的中间结果之上，最终到V8，这时候所有点之间的最短路径就都得到了
|
 p[V8][V8]=8//最终结果，D矩阵中(Vi,Vj)就是Vi，Vj之间的最短路径 //P矩阵中，P[V0][V8]=1表示V0->V8要先经过V0->V1->...->V8，P[V1][V8]=2 ... P[V8][V8]=8 |
| / Floyd.h */
#ifndef FLOYD_H
#define FLOYD_H
#include"Graph.h"
#include<iostream>
namespace meihao
{
void ShortestPath_Floyd(const meihao::Graph& g,weight_vaule_type weight,int pathPre);
//weight相当于D数组，pathPre相当于P数组
void printPath(int vi,int vj,int vertexCnt,int** pathPre);
//打印vi到vj的最短路径
};
#endif
/* testmain.cpp */
#include"Graph.h"
#include<iostream>
#include"Floyd.h"
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
cout<<"test Floyd:"<<endl;
meihao::Graph g("data.txt");
int vertexCnt = g.getGraphVertexNumber();
int** pathPre = new int*vertexCnt;
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
pathPre[idx] = new intvertexCnt;
weight_vaule_type** weight = new weight_vaule_typevertexCnt;
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
weight[idx] = new weight_vaule_type[vertexCnt];
meihao::ShortestPath_Floyd(g,weight,pathPre);
cout<<"print weight matrix:"<<endl;
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
{
for(int iidx=0;iidx!=vertexCnt;++iidx)
{
cout<<setw(3)<<weight[idx][iidx]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
cout<<"print pathPre matrix:"<<endl;
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
{
for(int iidx=0;iidx!=vertexCnt;++iidx)
{
cout<<setw(3)<<pathPre[idx][iidx]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
{
meihao::printPath(0,idx,vertexCnt,pathPre);
cout<<"路径权值: "<<weight[0][idx]<<endl;
}
//释放动态内存
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
{
delete []pathPre[idx];
pathPre[idx] = nullptr;
delete []weight[idx];
weight[idx] = nullptr;
}
delete []pathPre;
pathPre = nullptr;
delete []weight;
weight = nullptr;
system("pause");
}
|
/ Floyd.cpp */
#include"Floyd.h"
#include<iostream>
namespace meihao
{
void ShortestPath_Floyd(const meihao::Graph& g,weight_vaule_type weight,int pathPre)
{
if(nullptr==weight||nullptr==pathPre)
return ;
//读取图中数组初始化weight和pathPre
int vertexCnt = g.getGraphVertexNumber();
for(int idx=0;idx!=vertexCnt;++idx)
{
for(int iidx=0;iidx!=vertexCnt;++iidx)
{
weight[idx][iidx] = g.getGraphEdgeWeight(idx,iidx);
pathPre[idx][iidx] = iidx;
}
}
//开始依次选择中间结点，更新weight和pathPre数组
//中间结点为0时和初始化的矩阵一样
for(int idx=1;idx!=vertexCnt;++idx)
{
for(int v=0;v!=vertexCnt;++v)
{
for(int w=0;w!=vertexCnt;++w)
{
if( (max_weight_value!=weight[v][idx] && max_weight_value!=weight[idx][w]) && //经过中间结点idx，(v,idx)和(idx,w)都不能是最大值，不然下边的相加判断会溢出
//max_weight_value是权值weight_vaule_type所能表示的最大值了，再加就溢出
weight[v][w]>(weight[v][idx] + weight[idx][w]) )
{//更新
weight[v][w] = weight[v][idx] + weight[idx][w];
pathPre[v][w] = pathPre[v][idx]; //pathPre[v][w] = idx,也就是(v,w)要先到达idx，但是(v,idx)不是一步就到达的，也要先经过pathPre[v][idx]
//pathPre[v][w] = idx; //不能写这个，要在前面得到的中间结果的基础之上
}
}
}
}
}
void printPath(int vi,int vj,int vertexCnt,int** pathPre)
{
if(vi<0||vj<0||vertexCnt<=0||nullptr==pathPre)
return ;
if(vi==vj)
{
cout<<vi<<" ";
return ;
}
int max = vi>=vj?vi:vj;
int min = vi<vj?vi:vj;
cout<<min<<" "; //从最小的起始点开始
while(min!=max)
{
cout<<pathPre[min][max]<<" "; //第一个要经过的点
min = pathPre[min][max]; //更新起始顶点
}
}
};
|
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