题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1003

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Description
  物流公司要把一批货物从码头A运到码头B。由于货物量比较大,需要n天才能运完。货物运输过程中一般要转
停好几个码头。物流公司通常会设计一条固定的运输路线,以便对整个运输过程实施严格的管理和跟踪。由于各种
因素的存在,有的时候某个码头会无法装卸货物。这时候就必须修改运输路线,让货物能够按时到达目的地。但是
修改路线是一件十分麻烦的事情,会带来额外的成本。因此物流公司希望能够订一个n天的运输计划,使得总成本
尽可能地小。

Input
  第一行是四个整数n(1<=n<=100)、m(1<=m<=20)、K和e。n表示货物运输所需天数,m表示码头总数,K表示
每次修改运输路线所需成本。接下来e行每行是一条航线描述,包括了三个整数,依次表示航线连接的两个码头编
号以及航线长度(>0)。其中码头A编号为1,码头B编号为m。单位长度的运输费用为1。航线是双向的。再接下来
一行是一个整数d,后面的d行每行是三个整数P( 1 < P < m)、a、b(1< = a < = b < = n)。表示编号为P的码
头从第a天到第b天无法装卸货物(含头尾)。同一个码头有可能在多个时间段内不可用。但任何时间都存在至少一
条从码头A到码头B的运输路线。

Output
  包括了一个整数表示最小的总成本。总成本=n天运输路线长度之和+K*改变运输路线的次数。

Sample Input
5 5 10 8

1 2 1

1 3 3

1 4 2

2 3 2

2 4 4

3 4 1

3 5 2

4 5 2

4

2 2 3

3 1 1

3 3 3

4 4 5

Sample Output
32

//前三天走1-4-5,后两天走1-3-5,这样总成本为(2+2)*3+(3+2)*2+10=32

题解:

起初我想当然地考虑每天都找最短路,然后当天最短路和前一天最短路不一样就要改动一次线路。

然后,这种方法显然是有问题的,比如第一天所有港口都能用,我走最短路长度为 $10$。但第二天某个港口 $x$ 就不能用了,要改走次短路长度为 $11$,而改动一次线路花费为 $k=1000$,那么我就花费了$1021$。但是如果我两天都走次短路,那么总花费才 $22$,显然第二种更优。因此上面那句话所描述的方法是错误的。

考虑dp的做法:假设 $dp[i]$ 表示第 $i$ 天的最少花费,可以枚举改变路线在哪一天(或者根本不改变路线),那么不难有递推公式:$dp[i] = \min (c[1][i],\min \{ 1 \le j < i|dp[j] + k + c[j+1][i]\} )$。

其中,$c[a][b]$ 应当表示在第 $[j,i]$ 天全部都走某一条路(也就是说不改变)的最少花费。

由于天数的范围很小,因此可以暴力枚举所有 $a,b$ 去求 $c[a][b]$。

AC代码(二叉堆优化dijkstra):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=;
const int maxm=; int n,m,k,e;
int d;
bool cant[maxn][maxm];
int c[maxm][maxm];
int dp[maxm]; struct Edge{
int u,v,w;
Edge(int _u=,int _v=,int _w=){u=_u,v=_v,w=_w;}
};
vector<Edge> E;
vector<int> G[maxn];
void init(int l,int r)
{
E.clear();
for(int i=l;i<=r;i++) G[i].clear();
}
void addedge(int u,int v,int w)
{
E.push_back(Edge(u,v,w));
G[u].push_back(E.size()-);
} int dist[maxn],vis[maxn];
struct Heap
{
int sz;
int heap[*maxn],pos[*maxn];
void up(int now)
{
while(now>)
{
int par=now>>;
if(dist[heap[now]]<dist[heap[par]]) //子节点小于父节点,不满足小顶堆性质
{
swap(heap[par],heap[now]);
swap(pos[heap[par]],pos[heap[now]]);
now=par;
}
else break;
}
}
void push(int x) //插入权值为x的节点
{
heap[++sz]=x;
pos[x]=sz;
up(sz);
}
inline int top(){return heap[];}
void down(int now)
{
while((now<<)<=sz)
{
int nxt=now<<;
if(nxt+<=sz && dist[heap[nxt+]]<dist[heap[nxt]]) nxt++; //取左右子节点中较小的
if(dist[heap[now]]>dist[heap[nxt]]) //子节点小于父节点,不满足小顶堆性质
{
swap(heap[now],heap[nxt]);
swap(pos[heap[now]],pos[heap[nxt]]);
now=nxt;
}
else break;
}
}
void pop() //移除堆顶
{
heap[]=heap[sz--];
pos[heap[]]=;
down();
}
void del(int p) //删除存储在数组下标为p位置的节点
{
heap[p]=heap[sz--];
pos[heap[p]]=p;
up(p), down(p);
}
inline void clr()
{
sz=;
memset(pos,,sizeof(pos));
}
}h;
inline bool ok(int p,int st,int ed)
{
for(int i=st;i<=ed;i++) if(cant[p][i]) return ;
return ;
}
void dijkstra(int st,int ed)
{
for(int i=;i<=n;i++) dist[i]=INF,vis[i]=;
dist[]=; h.clr();
h.push();
while(h.sz)
{
int u=h.top(); h.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=;
for(int i=;i<G[u].size();i++)
{
Edge &e=E[G[u][i]]; int v=e.v;
if(!ok(v,st,ed)) continue;
if(!vis[v] && dist[v]>dist[u]+e.w)
{
dist[v]=dist[u]+e.w;
if(h.pos[v]) h.up(h.pos[v]);
else h.push(v);
}
}
}
} int main()
{
cin>>m>>n>>k>>e;
init(,n);
for(int i=,u,v,w;i<=e;i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
addedge(u,v,w);
addedge(v,u,w);
} cin>>d;
memset(cant,,sizeof(cant));
for(int i=,p,a,b;i<=d;i++)
{
scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
for(int k=a;k<=b;k++) cant[p][k]=;
} for(int i=;i<=m;i++)
{
for(int j=i;j<=m;j++)
{
dijkstra(i,j);
c[i][j]=(dist[n]>=INF)?INF:(dist[n]*(j-i+));
}
} for(int i=;i<=m;i++)
{
dp[i]=c[][i];
for(int j=;j<i;j++) if(c[j+][i]<INF) dp[i]=min(dp[i],dp[j]+k+c[j+][i]);
}
cout<<dp[m]<<endl;
}

AC代码(优先队列优化dijkstra):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=;
const int maxm=; int n,m,k,e;
int d;
bool cant[maxn][maxm];
int c[maxm][maxm];
int dp[maxm]; struct Edge{
int u,v,w;
Edge(int _u=,int _v=,int _w=){u=_u,v=_v,w=_w;}
};
vector<Edge> E;
vector<int> G[maxn];
void init(int l,int r)
{
E.clear();
for(int i=l;i<=r;i++) G[i].clear();
}
void addedge(int u,int v,int w)
{
E.push_back(Edge(u,v,w));
G[u].push_back(E.size()-);
} int dist[maxn],vis[maxn];
inline bool ok(int p,int st,int ed)
{
for(int i=st;i<=ed;i++) if(cant[p][i]) return ;
return ;
}
void dijkstra(int st,int ed)
{
for(int i=;i<=n;i++) dist[i]=INF,vis[i]=;
dist[]=; priority_queue< pii, vector<pii>, greater<pii> > Q;
Q.push(make_pair(,));
while(!Q.empty())
{
int u=Q.top().second; Q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=;
for(int i=;i<G[u].size();i++)
{
Edge &e=E[G[u][i]]; int v=e.v;
if(!ok(v,st,ed)) continue;
if(!vis[v] && dist[v]>dist[u]+e.w)
{
dist[v]=dist[u]+e.w;
Q.push(make_pair(dist[v],v));
}
}
}
} int main()
{
cin>>m>>n>>k>>e;
init(,n);
for(int i=,u,v,w;i<=e;i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
addedge(u,v,w);
addedge(v,u,w);
} cin>>d;
memset(cant,,sizeof(cant));
for(int i=,p,a,b;i<=d;i++)
{
scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
for(int k=a;k<=b;k++) cant[p][k]=;
} for(int i=;i<=m;i++)
{
for(int j=i;j<=m;j++)
{
dijkstra(i,j);
c[i][j]=(dist[n]>=INF)?INF:(dist[n]*(j-i+));
}
} for(int i=;i<=m;i++)
{
dp[i]=c[][i];
for(int j=;j<i;j++) if(c[j+][i]<INF) dp[i]=min(dp[i],dp[j]+k+c[j+][i]);
}
cout<<dp[m]<<endl;
}

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