【HAOI2011】problem b

数论好劲啊

原题：

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

gcd出现，基本上可以确定是数论了

最开始脑补了一下感觉应该是容斥之类的东西，去网上搜题解，果然是容斥（反演算是建立在整除上的容斥？

然后补习po姐的ppt，发现这题居然是第一道例题

补习了一下反演，这次和第一次学的时候不一样，证明什么的都扔掉，直接记公式应用（应试套路暴力硬肛

然后实力提升了果然不一样，现在拿起笔推公式也有感觉了

题目中要求gcd(x,y)=k的xy对数，这个可以用一个函数表示：f(k)=cnt(gcd(x,y)=k)

然后gcd是建立在整除上的，所以可以往莫比乌斯反演的方向想，尝试构造函数F(i)=cnt(i|gcd(x,y))（我说的推导过程这么有代入感其实我靠自己是根本推不出来的hhh

于是（我发现这个公式显示好像有点问题= =另存到本地即可查看）

然后就可以使用反演辣，直接从中反演出f(i)

F(i)比较容易计算

枚举i（实际上是k）的倍数即可算出答案

但是酱紫做是O(N)的，会T掉（还有n个询问）

因为可能会有很多是相等的，所以可以直接搞一个miu的前缀和，把相等的F(i)乘上miu的前缀和即可

怎么求相等的F(i)呐，每次前缀和的右端点是min(n/(n/i),m/(m/i))，左端点是上一次的右端点即可

（我说不下去了具体还是看po姐的ppt理解吧

写代码的时候又出现傻逼错误了，不过这一次很快召唤了数学大神syq帮忙查看，所以很快就找到问题了

summiu[1]没设初值……妙啊……

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define ll long long
 int rd(){int z=,mk=;  char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')mk=-;  ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){z=(z<<)+(z<<)+ch-'';  ch=getchar();}
     return z*mk;
 }
 int n;
 int prm[],ptt=;
 bool flg[];
 int miu[],smmiu[];
 void slct(){
     memset(flg,,sizeof(flg));
     miu[]=,smmiu[]=;
     for(int i=;i<=;++i){
         if(!flg[i])  prm[++ptt]=i,miu[i]=-;
         for(int j=;prm[j]*i<= && j<=ptt;++j){
             flg[prm[j]*i]=true;
             if(!(i%prm[j])){  miu[i*prm[j]]=;  break;}
             miu[prm[j]*i]=-miu[i];
         }
         smmiu[i]=miu[i]+smmiu[i-];
     }
 }
 ll cclt(int n,int m,int k){
     n/=k,m/=k;
     if(n>m)  swap(n,m);
     ll bwl=,tmp;
     for(int i=;i<=n;i=tmp+){
         tmp=min(n/(n/i),m/(m/i));
         bwl+=(ll)(n/i)*(m/i)*(smmiu[tmp]-smmiu[i-]);
     }
     return bwl;
 }
 int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
     slct();
     cin>>n;
     int a,b,c,d,k;
     while(n--){
         a=rd(),b=rd(),c=rd(),d=rd(),k=rd();
         printf("%I64d\n",cclt(b,d,k)+cclt(a-,c-,k)-cclt(b,c-,k)-cclt(a-,d,k));
     }
     return ;
 }