luoguP4841 城市规划

题意：

求n个点的无相连通图的个数。有编号

思路一：

黏博客

至于为什么除以k!：（没有博客中说的那么简单）

实际上，

对于一个n的用k个自然数的拆分，每一个拆分的贡献是：

$\frac{n!*\Pi contribution}{\Pi cnt[i]!*\Pi i!}$这里i是所有出现过的自然数，cnt表示出现次数

因为认为集合两两之间都是不同的，但是对于相同的i，会计算多次。要除以出现次数的阶乘。对于不同的i，本身sz就不同，所以不会重复

然后考虑每个自然数拆分的方案数：

$f^k$

但是每个自然数拆分，会被计算：$\frac{k!}{\Pi cnt[i]}$次，再除掉

所以，实际上，贡献就是：$\frac{n!*\Pi contribution}{k!*\Pi i!}$

就是$\frac{f^k}{k!}$的第n项再乘上$n!$

然后就可以用麦克劳林展开，推出e^f的式子了

思路二：

考虑dp

f[i]，i个点的ans

无向图很好算.2^(C(n,2))

考虑在所有无向图中减去不连通的

不连通意味着某个点不能到达所有其他点

不妨从1来观察

枚举和1的联通块大小j

设g(n,j)，表示n个点，和1联通块大小为j的无向连通图个数

g(n,j)=C(n-1,j-1)*2^(C(n-j,2))*f[j]

f[n]=2^(C(n,2)-∑g(n,j) (1<=j<=n-1)

把g和f的关系带进去

然后移项过去，发现可以把j范围变成(1<=j<=n)就消掉了f[n]项

组合数展开，可以NTT

然后再转化成逆元

注意，这个逆元是在mod x^(n+1)下的

最后乘出来的长度是2*n的

注意长度

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define int long long
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=*+;
const int mod=;
const int G=;
ll GI;
int n;
ll jie[N],ivv[N];
ll f[N],ni[N],p[N],g[N],t[N],d[N],e[N];
int rev[N];
int qm(int x,int y){
    int ret=;
    while(y){
        if(y&) ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;
        y>>=;
    }
    return ret;
}
int mo(int x){
    return x>=mod?x-mod:x;
}
void pre(int n){
    for(reg i=;i<n;++i){
        rev[i]=rev[i>>]>>|((i&)?n>>:);
    }
}
void NTT(int *f,int n,int c){
    for(reg i=;i<n;++i){
        if(i>rev[i]){
            f[i]^=f[rev[i]]^=f[i]^=f[rev[i]];
        }
    }
    for(reg p=;p<=n;p<<=){
        int gen;
        if(c==) gen=qm(G,(mod-)/p);
        else gen=qm(GI,(mod-)/p);
        for(reg l=;l<n;l+=p){
            int buf=;
            for(reg k=l;k<l+p/;++k){
                int tmp=(ll)buf*f[k+p/]%mod;
                f[k+p/]=mo(f[k]-tmp+mod);
                f[k]=mo(f[k]+tmp);
                buf=(ll)buf*gen%mod;
            }
        }
    }
}
void calc(int *f,int *g,int n){
    for(reg i=;i<n;++i){
        rev[i]=rev[i>>]>>|((i&)?n>>:);
    }
    NTT(f,n,);NTT(g,n,);
    for(reg i=;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;
    NTT(f,n,-);
    ll iv=qm(n,mod-);
    for(reg i=;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*iv%mod;
}
void inv(int *f,int *g,int n){//mod n
    if(n==){
        g[]=qm(f[],mod-);return;
    }
    inv(f,g,n>>);
    for(reg i=;i<n/;++i) d[i]=g[i],e[i]=f[i];
    for(reg i=n/;i<=n;++i) d[i]=,e[i]=f[i];
    for(reg i=n+;i<=*n;++i) d[i]=,e[i]=;

    for(reg i=;i<*n;++i){
        rev[i]=rev[i>>]>>|((i&)?(*n)>>:);
    }
    NTT(d,*n,);NTT(e,*n,);
    for(reg i=;i<*n;++i){
        g[i]=mo(mo(*d[i])-(ll)e[i]*d[i]%mod*d[i]%mod+mod);
    }
    NTT(g,*n,-);
    ll iv=qm(*n,mod-);
    for(reg i=;i<*n;++i){
        if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;
        else g[i]=;
    }
}
int main(){
    rd(n);
    GI=qm(G,mod-);
    int len,lp;
    for(lp=n,len=;len<=lp;len<<=);
    jie[]=;
    for(reg i=;i<len;++i){
        jie[i]=jie[i-]*i%mod;
    }
    ivv[len-]=qm(jie[len-],mod-);
    for(reg i=len-;i>=;--i){
        ivv[i]=ivv[i+]*(i+)%mod;
    }
    for(reg i=;i<len;++i){
        g[i]=qm(,(ll)(i-)*i/)*ivv[i]%mod;
        if(i)t[i]=qm(,(ll)(i-)*i/)*ivv[i-]%mod;
        else t[i]=;
    }
//    cout<<" gg "<<endl;
//    for(reg i=0;i<=n;++i){
//        cout<<g[i]<<" ";
//    }
//    cout<<" tt "<<endl;
//    for(reg i=0;i<=n;++i){
//        cout<<t[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
    inv(g,ni,len);
//    //for(reg i=n+1;i<=)
//    cout<<" ni "<<endl;
//    for(reg i=0;i<=10;++i){
//        cout<<ni[i]<<" ";
//    }cout<<endl;

    len*=;
    pre(len);
    NTT(ni,len,);NTT(t,len,);
    for(reg i=;i<len;++i){
        f[i]=ni[i]*t[i]%mod;
    }
    NTT(f,len,-);
    ll iv=qm(len,mod-);
    for(reg i=;i<len;++i) f[i]=f[i]*iv%mod;
    printf("%lld",f[n]*jie[n-]%mod);
    return ;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return ;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/2/3 21:43:20
*/