洛谷P4180
被教练安排讲题 可恶
这道题我是十月初上课时花了一下午做出来的,当时连倍增都不会,过程比较困难,现在看看还可以
本来想口胡一发,后来想了想可能以后要用,还是写成文章吧
Description
求一棵严格次小生成树的权值和
Analysis
次小生成树,分为严格和不严格两种
把不严格的次小生成树中权值与最小生成树相同的除去,剩下那个的就是严格次小生成树
所以考虑如何除去非严格部分就行了
Solution
既然要求次小生成树树严格小,那就可以维护一个最大值和一个次大值,保证次大值严格小于最大值
算法方面,使用 Kruskal 和 倍增
预先 DFS 处理这棵树的点深度,每个点的父亲,最大值和次大值的初始值
再使用倍增求出每个点所能到达的最大值和次大值
然后找出一颗最小生成树,统计它的权值和,并对于每条处于最小生成树中的边打一个标记
对于每条不在最小生成树中的边,找出与它相对的处于最小生成树中的最大的一条边,删去,然后一边跳一边枚举路径上的边权
然后判断当前枚举边与删去边的权值大小,若相同加入当前边的次大值,否则加入最大值,然后统计权值
最后把统计出的所有权值取一个最小值就是严格次小生成树的权值
正确性证明:
想将一条非树边加入生成树中,就必须删去它的始点终点到公共祖先路径上的一条边,否则就会构成环
想要使得生成的生成树严格小且尽可能小,就必须使得删去的那条树边尽可能大
对于每条枚举边,它的权值必定大于等于删去边,为了避免次小生成树不严格,当等于时就只能加入其次大值,否则加入其最大值
对于所有边都进行此处理,得出权值和最小的必定是严格且最小的生成树
如此 本题便得到解决
Other Things
本题比较恶心,不要读完数据直接建图,否则会爆
确定好生成树后,只建出一颗最小生成树即可
另外代码就不放了,到现在时间比较长了,写的也比较丑
希望各位看懂了
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