洛谷P4180

被教练安排讲题 可恶

这道题我是十月初上课时花了一下午做出来的，当时连倍增都不会，过程比较困难，现在看看还可以

本来想口胡一发，后来想了想可能以后要用，还是写成文章吧

Description

求一棵严格次小生成树的权值和

Analysis

次小生成树，分为严格和不严格两种

把不严格的次小生成树中权值与最小生成树相同的除去，剩下那个的就是严格次小生成树

所以考虑如何除去非严格部分就行了

Solution

既然要求次小生成树树严格小，那就可以维护一个最大值和一个次大值，保证次大值严格小于最大值

算法方面，使用 Kruskal 和 倍增

预先 DFS 处理这棵树的点深度，每个点的父亲，最大值和次大值的初始值

再使用倍增求出每个点所能到达的最大值和次大值

然后找出一颗最小生成树，统计它的权值和，并对于每条处于最小生成树中的边打一个标记

对于每条不在最小生成树中的边，找出与它相对的处于最小生成树中的最大的一条边，删去，然后一边跳一边枚举路径上的边权

然后判断当前枚举边与删去边的权值大小，若相同加入当前边的次大值，否则加入最大值，然后统计权值

最后把统计出的所有权值取一个最小值就是严格次小生成树的权值

正确性证明：

想将一条非树边加入生成树中，就必须删去它的始点终点到公共祖先路径上的一条边，否则就会构成环

想要使得生成的生成树严格小且尽可能小，就必须使得删去的那条树边尽可能大

对于每条枚举边，它的权值必定大于等于删去边，为了避免次小生成树不严格，当等于时就只能加入其次大值，否则加入其最大值

对于所有边都进行此处理，得出权值和最小的必定是严格且最小的生成树

如此 本题便得到解决

Other Things

本题比较恶心，不要读完数据直接建图，否则会爆

确定好生成树后，只建出一颗最小生成树即可

另外代码就不放了，到现在时间比较长了，写的也比较丑

希望各位看懂了