SPFA算法详解
前置知识:Bellman-Ford算法
前排提示:SPFA算法非常容易被卡出翔。所以如果不是图中有负权边,尽量使用Dijkstra!(Dijkstra算法不能能处理负权边,但SPFA能)
前排提示*2:一定要先学Bellman-Ford!
0.引子
在Bellman-Ford算法中,每条边都要松弛\(n-1\)轮,还不一定能松弛成功,这实在是太浪费了。能不能想办法改进呢?
非常幸运,SPFA算法能做到这点。(SPFA又名“Bellman-Ford的队列优化”,就是这个原因。)
1.基本思想
先说一个结论:只有一个点在上一轮被松弛成功时,这一轮从这个点连出的点才有可能被成功松弛。
为什么?显而易见
好吧其实我当初也花了不少时间理解这玩意
松弛的本质其实是通过一个点中转来缩短距离(如果你看了前置很容易理解)。所以,如果起点到一个点的距离因为某种原因变小了,从起点到这个距离变小的点连出的点的距离也有可能变小(因为可以通过变小的点中转)。(通读三遍再往下看)
所以,可以在下一轮只用这一轮松弛成功的点进行松弛,这就是SPFA的基本思想。
2.用队列实现
我们知道了在下一轮只用这一轮松弛成功的点进行松弛,就可以把这一轮松弛成功的点放进队列里,下一轮只用从队列里取出的点进行松弛。
为什么是队列而不是其他的玄学数据结构?因为队列具有“先进先出,后进后出”的特点,可以保证这一轮松弛的点不会在这一轮结束之前取出。
干说可能不太理解,所以还是举个栗子吧。
这又是之前的有向图,但是这次我们要用SPFA跑。
最开始,我们要把\(1\)号点放进队列(为什么要这样?先往下看)。\(dis\)数组和队列是这个亚子的:
\(i\) | \(dis[i]\) |
---|---|
\(1\) | \(0\) |
\(2\) | \(\infty\) |
\(3\) | \(\infty\) |
\(4\) | \(\infty\) |
queue | 1 |
---|
用\(1\)号点进行松弛(就是\(1\)号到\(1\)号再到目标点):
\(i\) | \(dis[i]\) |
---|---|
\(1\) | \(0\) |
\(2\) | \(1\) |
\(3\) | \(5\) |
\(4\) | \(\infty\) |
queue | 2 | 3 |
---|
\(2,3\)号点被松弛成功了,把它们加入到队列里。
\(1\)号点被用过了,把它扔掉。(工具点石锤)
用\(2\)号点进行松弛:
\(i\) | \(dis[i]\) |
---|---|
\(1\) | \(0\) |
\(2\) | \(1\) |
\(3\) | \(5\) |
\(4\) | \(3\) |
queue | 3 | 4 |
---|
\(4\)号点被松弛成功了,把它们加入到队列里。
\(2\)号点被用过了,把它扔掉。
用\(3\)号点进行松弛:
\(i\) | \(dis[i]\) |
---|---|
\(1\) | \(0\) |
\(2\) | \(1\) |
\(3\) | \(5\) |
\(4\) | \(3\) |
queue | 4 |
---|
没有点被松弛成功。
\(3\)号点被用过了,把它扔掉。
用\(4\)号点进行松弛:
\(i\) | \(dis[i]\) |
---|---|
\(1\) | \(0\) |
\(2\) | \(1\) |
\(3\) | \(4\) |
\(4\) | \(3\) |
queue | 3 |
---|
\(3\)号点被松弛成功了,把它们加入到队列里。
\(4\)号点被用过了,把它扔掉。
用\(3\)号点进行松弛:
\(i\) | \(dis[i]\) |
---|---|
\(1\) | \(0\) |
\(2\) | \(1\) |
\(3\) | \(4\) |
\(4\) | \(3\) |
queue |
---|
没有点被松弛成功。
\(3\)号点被用过了,把它扔掉。
现在队列为空(也就是能松弛的都松弛了),算法结束。
3.Code
SPFA的具体实现,推荐结合上面的栗子食用。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 10005
#define INF 0x7fffffff
int n,m,s,dis[MAXN];
vector<pair<int,int> > g[MAXN];//用vector存图,但是据说链式前向星更快
void spfa(){
queue<int> q;
q.push(s);//把初始点加入队列
fill(dis+1,dis+1+n,INF);//因为一开始所有点都到不了,所以初始化为INF
dis[s]=0;//自己到自己肯定距离为0
while(!q.empty()){
int u=q.front();
q.pop();//从队列里取出第一个元素
for(int i=0;i<g[u].size();i++){
int v=g[u][i].first,w=g[u][i].second;
if(dis[v]>dis[u]+w){
dis[v]=dis[u]+w;
q.push(v);
}
//如果能松弛成功,那么松弛,把松弛成功的目标点放入队列
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
g[u].push_back(make_pair(v,w));
}//输入,建图
spfa();
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%d ",dis[i]);
}//输出
return 0;
}
这个代码能够ACP3371,但是我还是推荐你自己码一遍。
4.特点
- 能够处理有负权边的图,但是隔壁Dijkstra不行。
- 在有负环的情况下,不存在最短路,因为不停在负环上绕就能把最短路刷到任意低。但是SPFA能够判断图中是否存在负环,具体方法为统计每个点的入队次数,如果有一个点入队次数$ \ge n $,那么图上存在负环,也就不存在最短路了。
- 什么?你不知道什么叫负环?下面的就是。
就是一个环,边权和是负。一般用一个名为菜鸡算法的算法判断
——Ynoi
- SPFA的时间复杂度是\(O(km)\),\(k\)是每一个节点的平均入队次数,经过实践,\(k\)一般为\(4\),所以SPFA通常情况下非常高效。但是SPFA非常容易被卡出翔,最坏情况下会变成\(O(nm)\)! 所以如果能用隔壁Dijkstra尽量不要用SPFA。至于具体怎么卡,据说是这样的:
(这种图据说叫菊花图,能欺骗SPFA多次让点进入队列,所以\(k\)会变得非常大(上限为\(n\))。)
5.你都看到这了就不点一个赞吗?
这个最重要了qwq
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