Bézout恒等式

写在前面：

　　记录了个人的学习过程，同时方便复习

　　整理自网络

　　非原创部分会标明出处

目录

• 结论

• 证明

• 拓展

1. n个整数间

2. 拓展欧几里得算法

3. 拓展欧几里得算法的多解

结论

(Bézout / 裴蜀 / 贝祖 / 比舒)

In elementary number theory, Bézout's identity (also called Bézout's lemma) is the following theorem:

Bézout's identity —

　　Let a and b be integers with greatest common divisor d

　　Then, there exist integers x and y such that ax + by = d

　　More generally, the integers of the form ax + by are exactly the multiples of d

——wikipedia

译：

　　在初等数论中，Bézout恒等式（也称为Bézout引理）是下列引理：

　　　　Bézout恒等式：

　　　　设a和b为具有最大公因数d的整数

　　　　存在整数x和y，使得ax+by=d

　　　　即ax+by恰好是d的倍数

　　wikipedia上说的很清楚，就不再重复说了

证明

　　(某一种证法）

　　

　　有a，b∈Z*

　　记d == gcd(a，b)，对ax + by == d，两边同时除以d，可得(a₁)x + (b₁)y == 1，其中gcd(a₁，b₁) == 1
　　转证(a₁)x + (b₁)y == 1，由带余除法：
　　① (a₁) == (q₁)(b₁) + (r₁)，其中0 < r₁ < b₁
　　② (b₁) == (q₂)(r₁) + (r₂)，其中0 < r₂ < r₁
　　③ (r₁) == (q₃)(r₂) + (r₃)，其中0 < r₃ < r₂
　　.....
　　④ (r_n-4) == (q_n-2)(r_n-3) + (r_n-2)
　　⑤ (r_n-3) == (q_n-1)(r_n-2) + (r_n-1)
　　⑥ (r_n-2) == (q_n)(r_n-1) + (r_n)
　　⑦ (r_n-1) == (q_n+1)(r_n) + 1
　　故，由⑦和⑥推出(r_n-2)A_n-2 + (r_n-1)B_n-1 == 1
　　再结合⑤推出(r_n-3)A_n-3 + (r_n-2)B_n-2 == 1
　　再结合④推出(r_n-4)A_n-4 + (r_n-3)B_n-3 == 1
　　.....
　　再结合③推出(r₁)A₁ + (r₂)B₂ == 1
　　再结合②推出(b₁)A₀ + (r₁)B₀ == 1
　　再结合①推出(a₁)x + (b₁)y == 1
　　证毕

——bia度百科

拓展

• n个整数间

　　设有a₁，a₂，a₃......a_n为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x₁......x_n使得x₁*a₁ + x₂*a₂ + ... + x_n*a_n == d

——bia度百科

• [◹]拓展欧几里得算法
• [◹]拓展欧几里得算法的多解